Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5021 / 4003
↖ ↑ ↗
← N 67.314451°
W 69.675293°		 ← 942.31 m → N 67.314451°
W 69.653320°		 →
↑
942.46 m
↓
↑
942.46 m
↓
N 67.305976°
W 69.675293°		 ← 942.64 m →
888 246 m²		 N 67.305976°
W 69.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306488037109375 y=0.244354248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306488037109375 × 214)
    floor (0.306488037109375 × 16384)
    floor (5021.5)     		tx = 5021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244354248046875 × 214)
    floor (0.244354248046875 × 16384)
    floor (4003.5)     		ty = 4003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5021 / 4003 ti = "14/5021/4003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5021/4003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5021 ÷ 214
    5021 ÷ 16384     		x = 0.30645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4003 ÷ 214
    4003 ÷ 16384     		y = 0.24432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.3870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.21606327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24432373046875 × 2 - 1) × π
    0.5113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60646138006732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21606327} λ = -1.21606327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60646138006732))-π/2
    2×atan(4.98513946556868)-π/2
    2×1.37282756991136-π/2
    2.74565513982272-1.57079632675     		φ = 1.17485881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21606327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17485881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.314451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5021 KachelY 4003 -1.21606327 1.17485881 -69.675293 67.314451
    Oben rechts KachelX + 1 5022 KachelY 4003 -1.21567977 1.17485881 -69.653320 67.314451
    Unten links KachelX 5021 KachelY + 1 4004 -1.21606327 1.17471088 -69.675293 67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 5022 KachelY + 1 4004 -1.21567977 1.17471088 -69.653320 67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17485881-1.17471088) × R
    0.000147930000000018 × 6371000     		dl = 942.462030000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17485881-1.17471088) × R
    0.000147930000000018 × 6371000     		dr = 942.462030000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21606327--1.21567977) × cos(1.17485881) × R
    0.000383500000000092 × 0.385673344350999 × 6371000     		do = 942.307390276118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21606327--1.21567977) × cos(1.17471088) × R
    0.000383500000000092 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 942.640851939662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17485881)-sin(1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385673344350999-0.385809825584531)×R²
    abs(-1.21567977--1.21606327)×0.000136481233532659×R²
    0.000383500000000092×0.000136481233532659×6371000²
    0.000383500000000092×0.000136481233532659×40589641000000     		ar = 888246.075022526m²