Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50208 / 50912
↖ ↑ ↗
← S 70.080562°
E 95.800781°		 ← 208.09 m → S 70.080562°
E 95.806274°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 70.082433°
E 95.800781°		 ← 208.08 m →
43 298 m²		 S 70.082433°
E 95.806274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766120910644531 y=0.776863098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766120910644531 × 216)
    floor (0.766120910644531 × 65536)
    floor (50208.5)     		tx = 50208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776863098144531 × 216)
    floor (0.776863098144531 × 65536)
    floor (50912.5)     		ty = 50912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50208 / 50912 ti = "16/50208/50912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50208/50912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50208 ÷ 216
    50208 ÷ 65536     		x = 0.76611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50912 ÷ 216
    50912 ÷ 65536     		y = 0.77685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67203906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    -0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67203906} λ = 1.67203906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7395342134126))-π/2
    2×atan(0.175602174708579)-π/2
    2×0.173829887749629-π/2
    0.347659775499258-1.57079632675     		φ = -1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67203906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50208 KachelY 50912 1.67203906 -1.22313655 95.800781 -70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 50209 KachelY 50912 1.67213493 -1.22313655 95.806274 -70.080562
    Unten links KachelX 50208 KachelY + 1 50913 1.67203906 -1.22316921 95.800781 -70.082433
    Unten rechts KachelX + 1 50209 KachelY + 1 50913 1.67213493 -1.22316921 95.806274 -70.082433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22313655--1.22316921) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22313655--1.22316921) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67203906-1.67213493) × cos(-1.22313655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 208.094494572841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67203906-1.67213493) × cos(-1.22316921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340667822458174 × 6371000     		du = 208.07573958998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22313655)-sin(-1.22316921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.340667822458174)×R²
    abs(1.67213493-1.67203906)×3.07062187270835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07062187270835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07062187270835e-05×40589641000000     		ar = 43297.6977788598m²