Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50208 / 50782
↖ ↑ ↗
← S 69.835835°
E 95.800781°		 ← 210.55 m → S 69.835835°
E 95.806274°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 69.837729°
E 95.800781°		 ← 210.53 m →
44 331 m²		 S 69.837729°
E 95.806274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766120910644531 y=0.774879455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766120910644531 × 216)
    floor (0.766120910644531 × 65536)
    floor (50208.5)     		tx = 50208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774879455566406 × 216)
    floor (0.774879455566406 × 65536)
    floor (50782.5)     		ty = 50782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50208 / 50782 ti = "16/50208/50782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50208/50782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50208 ÷ 216
    50208 ÷ 65536     		x = 0.76611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50782 ÷ 216
    50782 ÷ 65536     		y = 0.774871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67203906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.54974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72707061951138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67203906} λ = 1.67203906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72707061951138))-π/2
    2×atan(0.177804504867379)-π/2
    2×0.175965533593815-π/2
    0.35193106718763-1.57079632675     		φ = -1.21886526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67203906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21886526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.835835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50208 KachelY 50782 1.67203906 -1.21886526 95.800781 -69.835835
    Oben rechts KachelX + 1 50209 KachelY 50782 1.67213493 -1.21886526 95.806274 -69.835835
    Unten links KachelX 50208 KachelY + 1 50783 1.67203906 -1.21889831 95.800781 -69.837729
    Unten rechts KachelX + 1 50209 KachelY + 1 50783 1.67213493 -1.21889831 95.806274 -69.837729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21886526--1.21889831) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21886526--1.21889831) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67203906-1.67213493) × cos(-1.21886526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344711158445847 × 6371000     		do = 210.545359761251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67203906-1.67213493) × cos(-1.21889831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344680133931641 × 6371000     		du = 210.526410367404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21886526)-sin(-1.21889831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344711158445847-0.344680133931641)×R²
    abs(1.67213493-1.67203906)×3.10245142051135e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10245142051135e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10245142051135e-05×40589641000000     		ar = 44330.7622933628m²