Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50207 / 58273
↖ ↑ ↗
← N 19.557202°
W 42.102356°		 ← 287.75 m → N 19.557202°
W 42.099610°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.554614°
W 42.102356°		 ← 287.75 m →
82 807 m²		 N 19.554614°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383052825927734 y=0.444591522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383052825927734 × 217)
    floor (0.383052825927734 × 131072)
    floor (50207.5)     		tx = 50207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444591522216797 × 217)
    floor (0.444591522216797 × 131072)
    floor (58273.5)     		ty = 58273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50207 / 58273 ti = "17/50207/58273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50207/58273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50207 ÷ 217
    50207 ÷ 131072     		x = 0.383049011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58273 ÷ 217
    58273 ÷ 131072     		y = 0.444587707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383049011230469 × 2 - 1) × π
    -0.233901977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.73482473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444587707519531 × 2 - 1) × π
    0.110824584960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.348165701940468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73482473} λ = -0.73482473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348165701940468))-π/2
    2×atan(1.41646694161587)-π/2
    2×0.956066947358207-π/2
    1.91213389471641-1.57079632675     		φ = 0.34133757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73482473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.102356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34133757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.557202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50207 KachelY 58273 -0.73482473 0.34133757 -42.102356 19.557202
    Oben rechts KachelX + 1 50208 KachelY 58273 -0.73477680 0.34133757 -42.099610 19.557202
    Unten links KachelX 50207 KachelY + 1 58274 -0.73482473 0.34129240 -42.102356 19.554614
    Unten rechts KachelX + 1 50208 KachelY + 1 58274 -0.73477680 0.34129240 -42.099610 19.554614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34133757-0.34129240) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dl = 287.778069999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34133757-0.34129240) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dr = 287.778069999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73482473--0.73477680) × cos(0.34133757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942307759993521 × 6371000     		do = 287.74501047655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73482473--0.73477680) × cos(0.34129240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942322879590053 × 6371000     		du = 287.74962742724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34133757)-sin(0.34129240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942307759993521-0.942322879590053)×R²
    abs(-0.73477680--0.73482473)×1.51195965319983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51195965319983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51195965319983e-05×40589641000000     		ar = 82807.3681096839m²