Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50207 / 50784
↖ ↑ ↗
← S 69.839622°
E 95.795288°		 ← 210.53 m → S 69.839622°
E 95.800781°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 69.841515°
E 95.795288°		 ← 210.51 m →
44 314 m²		 S 69.841515°
E 95.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766105651855469 y=0.774909973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766105651855469 × 216)
    floor (0.766105651855469 × 65536)
    floor (50207.5)     		tx = 50207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774909973144531 × 216)
    floor (0.774909973144531 × 65536)
    floor (50784.5)     		ty = 50784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50207 / 50784 ti = "16/50207/50784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50207/50784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50207 ÷ 216
    50207 ÷ 65536     		x = 0.766098022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50784 ÷ 216
    50784 ÷ 65536     		y = 0.77490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766098022460938 × 2 - 1) × π
    0.532196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67194318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72726236710986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67194318} λ = 1.67194318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72726236710986))-π/2
    2×atan(0.177770414549045)-π/2
    2×0.175932487799534-π/2
    0.351864975599068-1.57079632675     		φ = -1.21893135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67194318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21893135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.839622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50207 KachelY 50784 1.67194318 -1.21893135 95.795288 -69.839622
    Oben rechts KachelX + 1 50208 KachelY 50784 1.67203906 -1.21893135 95.800781 -69.839622
    Unten links KachelX 50207 KachelY + 1 50785 1.67194318 -1.21896439 95.795288 -69.841515
    Unten rechts KachelX + 1 50208 KachelY + 1 50785 1.67203906 -1.21896439 95.800781 -69.841515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21893135--1.21896439) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21893135--1.21896439) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67194318-1.67203906) × cos(-1.21893135) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344649118428257 × 6371000     		do = 210.529424072458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67194318-1.67203906) × cos(-1.21896439) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344618102548639 × 6371000     		du = 210.51047797649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21893135)-sin(-1.21896439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344649118428257-0.344618102548639)×R²
    abs(1.67203906-1.67194318)×3.10158796175686e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10158796175686e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10158796175686e-05×40589641000000     		ar = 44313.9949713856m²