Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50207 / 48481
↖ ↑ ↗
← S 65.000261°
E 95.795288°		 ← 258.15 m → S 65.000261°
E 95.800781°		 →
↑
258.09 m
↓
↑
258.09 m
↓
S 65.002582°
E 95.795288°		 ← 258.13 m →
66 624 m²		 S 65.002582°
E 95.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766105651855469 y=0.739768981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766105651855469 × 216)
    floor (0.766105651855469 × 65536)
    floor (50207.5)     		tx = 50207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739768981933594 × 216)
    floor (0.739768981933594 × 65536)
    floor (48481.5)     		ty = 48481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50207 / 48481 ti = "16/50207/48481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50207/48481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50207 ÷ 216
    50207 ÷ 65536     		x = 0.766098022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48481 ÷ 216
    48481 ÷ 65536     		y = 0.739761352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766098022460938 × 2 - 1) × π
    0.532196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67194318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739761352539062 × 2 - 1) × π
    -0.479522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50646500745988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67194318} λ = 1.67194318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50646500745988))-π/2
    2×atan(0.221692274975917)-π/2
    2×0.218163880684024-π/2
    0.436327761368048-1.57079632675     		φ = -1.13446857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67194318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13446857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.000261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50207 KachelY 48481 1.67194318 -1.13446857 95.795288 -65.000261
    Oben rechts KachelX + 1 50208 KachelY 48481 1.67203906 -1.13446857 95.800781 -65.000261
    Unten links KachelX 50207 KachelY + 1 48482 1.67194318 -1.13450908 95.795288 -65.002582
    Unten rechts KachelX + 1 50208 KachelY + 1 48482 1.67203906 -1.13450908 95.800781 -65.002582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13446857--1.13450908) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dl = 258.089210000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13446857--1.13450908) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dr = 258.089210000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67194318-1.67203906) × cos(-1.13446857) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422614132413433 × 6371000     		do = 258.154468253492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67194318-1.67203906) × cos(-1.13450908) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.42257741746022 × 6371000     		du = 258.132040869984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13446857)-sin(-1.13450908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422614132413433-0.42257741746022)×R²
    abs(1.67203906-1.67194318)×3.67149532134459e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.67149532134459e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.67149532134459e-05×40589641000000     		ar = 66623.9886458573m²