Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50206 / 49714
↖ ↑ ↗
← S 67.713612°
E 95.789795°		 ← 231.63 m → S 67.713612°
E 95.795288°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 67.715695°
E 95.789795°		 ← 231.61 m →
53 655 m²		 S 67.715695°
E 95.795288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766090393066406 y=0.758583068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766090393066406 × 216)
    floor (0.766090393066406 × 65536)
    floor (50206.5)     		tx = 50206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758583068847656 × 216)
    floor (0.758583068847656 × 65536)
    floor (49714.5)     		ty = 49714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50206 / 49714 ti = "16/50206/49714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50206/49714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50206 ÷ 216
    50206 ÷ 65536     		x = 0.766082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49714 ÷ 216
    49714 ÷ 65536     		y = 0.758575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766082763671875 × 2 - 1) × π
    0.53216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67184731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.51715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62467740192294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67184731} λ = 1.67184731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62467740192294))-π/2
    2×atan(0.196975208779319)-π/2
    2×0.194485422163751-π/2
    0.388970844327501-1.57079632675     		φ = -1.18182548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67184731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.789795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18182548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50206 KachelY 49714 1.67184731 -1.18182548 95.789795 -67.713612
    Oben rechts KachelX + 1 50207 KachelY 49714 1.67194318 -1.18182548 95.795288 -67.713612
    Unten links KachelX 50206 KachelY + 1 49715 1.67184731 -1.18186184 95.789795 -67.715695
    Unten rechts KachelX + 1 50207 KachelY + 1 49715 1.67194318 -1.18186184 95.795288 -67.715695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18182548--1.18186184) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dl = 231.649559999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18182548--1.18186184) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dr = 231.649559999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67184731-1.67194318) × cos(-1.18182548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379236340828347 × 6371000     		do = 231.632918917501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67184731-1.67194318) × cos(-1.18186184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379202696675411 × 6371000     		du = 231.612369480356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18182548)-sin(-1.18186184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379236340828347-0.379202696675411)×R²
    abs(1.67194318-1.67184731)×3.36441529360521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36441529360521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36441529360521e-05×40589641000000     		ar = 53655.2836204761m²