Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50203 / 57999
↖ ↑ ↗
← N 20.264774°
W 42.113342°		 ← 286.52 m → N 20.264774°
W 42.110595°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.262197°
W 42.113342°		 ← 286.53 m →
82 090 m²		 N 20.262197°
W 42.110595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383022308349609 y=0.442501068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383022308349609 × 217)
    floor (0.383022308349609 × 131072)
    floor (50203.5)     		tx = 50203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442501068115234 × 217)
    floor (0.442501068115234 × 131072)
    floor (57999.5)     		ty = 57999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50203 / 57999 ti = "17/50203/57999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50203/57999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50203 ÷ 217
    50203 ÷ 131072     		x = 0.383018493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57999 ÷ 217
    57999 ÷ 131072     		y = 0.442497253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383018493652344 × 2 - 1) × π
    -0.233963012695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.73501648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442497253417969 × 2 - 1) × π
    0.115005493164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.361300412436363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73501648} λ = -0.73501648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361300412436363))-π/2
    2×atan(1.43519454641393)-π/2
    2×0.962241675184479-π/2
    1.92448335036896-1.57079632675     		φ = 0.35368702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73501648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.113342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35368702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.264774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50203 KachelY 57999 -0.73501648 0.35368702 -42.113342 20.264774
    Oben rechts KachelX + 1 50204 KachelY 57999 -0.73496854 0.35368702 -42.110595 20.264774
    Unten links KachelX 50203 KachelY + 1 58000 -0.73501648 0.35364205 -42.113342 20.262197
    Unten rechts KachelX + 1 50204 KachelY + 1 58000 -0.73496854 0.35364205 -42.110595 20.262197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35368702-0.35364205) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35368702-0.35364205) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73501648--0.73496854) × cos(0.35368702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938102059673969 × 6371000     		do = 286.520515771258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73501648--0.73496854) × cos(0.35364205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938117634487603 × 6371000     		du = 286.525272720238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35368702)-sin(0.35364205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938102059673969-0.938117634487603)×R²
    abs(-0.73496854--0.73501648)×1.55748136340117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55748136340117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55748136340117e-05×40589641000000     		ar = 82089.9180589113m²