Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50203 / 49715
↖ ↑ ↗
← S 67.715695°
E 95.773315°		 ← 231.61 m → S 67.715695°
E 95.778808°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 67.717778°
E 95.773315°		 ← 231.59 m →
53 636 m²		 S 67.717778°
E 95.778808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766044616699219 y=0.758598327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766044616699219 × 216)
    floor (0.766044616699219 × 65536)
    floor (50203.5)     		tx = 50203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758598327636719 × 216)
    floor (0.758598327636719 × 65536)
    floor (49715.5)     		ty = 49715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50203 / 49715 ti = "16/50203/49715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50203/49715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50203 ÷ 216
    50203 ÷ 65536     		x = 0.766036987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49715 ÷ 216
    49715 ÷ 65536     		y = 0.758590698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766036987304688 × 2 - 1) × π
    0.532073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67155969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758590698242188 × 2 - 1) × π
    -0.517181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62477327572218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67155969} λ = 1.67155969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62477327572218))-π/2
    2×atan(0.196956324922945)-π/2
    2×0.194467243555804-π/2
    0.388934487111608-1.57079632675     		φ = -1.18186184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67155969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.773315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18186184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.715695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50203 KachelY 49715 1.67155969 -1.18186184 95.773315 -67.715695
    Oben rechts KachelX + 1 50204 KachelY 49715 1.67165556 -1.18186184 95.778808 -67.715695
    Unten links KachelX 50203 KachelY + 1 49716 1.67155969 -1.18189819 95.773315 -67.717778
    Unten rechts KachelX + 1 50204 KachelY + 1 49716 1.67165556 -1.18189819 95.778808 -67.717778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18186184--1.18189819) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dl = 231.585850000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18186184--1.18189819) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dr = 231.585850000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67155969-1.67165556) × cos(-1.18186184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379202696675411 × 6371000     		do = 231.612369480356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67155969-1.67165556) × cos(-1.18189819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379169061274424 × 6371000     		du = 231.591825388794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18186184)-sin(-1.18189819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379202696675411-0.379169061274424)×R²
    abs(1.67165556-1.67155969)×3.36354009866646e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36354009866646e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36354009866646e-05×40589641000000     		ar = 53635.7686023547m²