Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50197 / 85053
↖ ↑ ↗
← S 47.154237°
W 42.129822°		 ← 207.65 m → S 47.154237°
W 42.127075°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.156105°
W 42.129822°		 ← 207.65 m →
43 128 m²		 S 47.156105°
W 42.127075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382976531982422 y=0.648906707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382976531982422 × 217)
    floor (0.382976531982422 × 131072)
    floor (50197.5)     		tx = 50197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648906707763672 × 217)
    floor (0.648906707763672 × 131072)
    floor (85053.5)     		ty = 85053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50197 / 85053 ti = "17/50197/85053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50197/85053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50197 ÷ 217
    50197 ÷ 131072     		x = 0.382972717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85053 ÷ 217
    85053 ÷ 131072     		y = 0.648902893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382972717285156 × 2 - 1) × π
    -0.234054565429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.73530410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648902893066406 × 2 - 1) × π
    -0.297805786132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.935584469884636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73530410} λ = -0.73530410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935584469884636))-π/2
    2×atan(0.392356477957576)-π/2
    2×0.373899816946223-π/2
    0.747799633892446-1.57079632675     		φ = -0.82299669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73530410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.129822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82299669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.154237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50197 KachelY 85053 -0.73530410 -0.82299669 -42.129822 -47.154237
    Oben rechts KachelX + 1 50198 KachelY 85053 -0.73525617 -0.82299669 -42.127075 -47.154237
    Unten links KachelX 50197 KachelY + 1 85054 -0.73530410 -0.82302929 -42.129822 -47.156105
    Unten rechts KachelX + 1 50198 KachelY + 1 85054 -0.73525617 -0.82302929 -42.127075 -47.156105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82299669--0.82302929) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dl = 207.694600000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82299669--0.82302929) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dr = 207.694600000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73530410--0.73525617) × cos(-0.82299669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680027129947985 × 6371000     		do = 207.654464856117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73530410--0.73525617) × cos(-0.82302929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680003227692091 × 6371000     		du = 207.647166014736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82299669)-sin(-0.82302929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680027129947985-0.680003227692091)×R²
    abs(-0.73525617--0.73530410)×2.39022558937707e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39022558937707e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39022558937707e-05×40589641000000     		ar = 43127.9530553575m²