Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50197 / 48719
↖ ↑ ↗
← S 65.547093°
E 95.740357°		 ← 252.83 m → S 65.547093°
E 95.745850°		 →
↑
252.80 m
↓
↑
252.80 m
↓
S 65.549367°
E 95.740357°		 ← 252.81 m →
63 914 m²		 S 65.549367°
E 95.745850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765953063964844 y=0.743400573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765953063964844 × 216)
    floor (0.765953063964844 × 65536)
    floor (50197.5)     		tx = 50197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743400573730469 × 216)
    floor (0.743400573730469 × 65536)
    floor (48719.5)     		ty = 48719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50197 / 48719 ti = "16/50197/48719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50197/48719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50197 ÷ 216
    50197 ÷ 65536     		x = 0.765945434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48719 ÷ 216
    48719 ÷ 65536     		y = 0.743392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765945434570312 × 2 - 1) × π
    0.531890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67098445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743392944335938 × 2 - 1) × π
    -0.486785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52928297167903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67098445} λ = 1.67098445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52928297167903))-π/2
    2×atan(0.216690985198978)-π/2
    2×0.213391870136872-π/2
    0.426783740273745-1.57079632675     		φ = -1.14401259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67098445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.740357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14401259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.547093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50197 KachelY 48719 1.67098445 -1.14401259 95.740357 -65.547093
    Oben rechts KachelX + 1 50198 KachelY 48719 1.67108032 -1.14401259 95.745850 -65.547093
    Unten links KachelX 50197 KachelY + 1 48720 1.67098445 -1.14405227 95.740357 -65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 50198 KachelY + 1 48720 1.67108032 -1.14405227 95.745850 -65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14401259--1.14405227) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dl = 252.801279999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14401259--1.14405227) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dr = 252.801279999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67098445-1.67108032) × cos(-1.14401259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413945178247391 × 6371000     		do = 252.832652323971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67098445-1.67108032) × cos(-1.14405227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 252.810589996765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14401259)-sin(-1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413945178247391-0.413909057145611)×R²
    abs(1.67108032-1.67098445)×3.61211017798624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61211017798624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61211017798624e-05×40589641000000     		ar = 63913.6294496609m²