Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50195 / 85051
↖ ↑ ↗
← S 47.150501°
W 42.135315°		 ← 207.71 m → S 47.150501°
W 42.132568°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.152369°
W 42.135315°		 ← 207.71 m →
43 140 m²		 S 47.152369°
W 42.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382961273193359 y=0.648891448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382961273193359 × 217)
    floor (0.382961273193359 × 131072)
    floor (50195.5)     		tx = 50195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648891448974609 × 217)
    floor (0.648891448974609 × 131072)
    floor (85051.5)     		ty = 85051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50195 / 85051 ti = "17/50195/85051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50195/85051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50195 ÷ 217
    50195 ÷ 131072     		x = 0.382957458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85051 ÷ 217
    85051 ÷ 131072     		y = 0.648887634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382957458496094 × 2 - 1) × π
    -0.234085083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.73539998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648887634277344 × 2 - 1) × π
    -0.297775268554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.935488596085396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73539998} λ = -0.73539998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935488596085396))-π/2
    2×atan(0.39239409646706)-π/2
    2×0.373932416484118-π/2
    0.747864832968237-1.57079632675     		φ = -0.82293149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73539998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.135315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82293149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.150501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50195 KachelY 85051 -0.73539998 -0.82293149 -42.135315 -47.150501
    Oben rechts KachelX + 1 50196 KachelY 85051 -0.73535204 -0.82293149 -42.132568 -47.150501
    Unten links KachelX 50195 KachelY + 1 85052 -0.73539998 -0.82296409 -42.135315 -47.152369
    Unten rechts KachelX + 1 50196 KachelY + 1 85052 -0.73535204 -0.82296409 -42.132568 -47.152369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82293149--0.82296409) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dl = 207.694600000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82293149--0.82296409) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dr = 207.694600000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73539998--0.73535204) × cos(-0.82293149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68007493229163 × 6371000     		do = 207.712389450485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73539998--0.73535204) × cos(-0.82296409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680051031481173 × 6371000     		du = 207.705089527764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82293149)-sin(-0.82296409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68007493229163-0.680051031481173)×R²
    abs(-0.73535204--0.73539998)×2.39008104571115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39008104571115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39008104571115e-05×40589641000000     		ar = 43139.9835685549m²