Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50194 / 49363
↖ ↑ ↗
← S 66.970924°
E 95.723877°		 ← 238.94 m → S 66.970924°
E 95.729370°		 →
↑
238.91 m
↓
↑
238.91 m
↓
S 66.973073°
E 95.723877°		 ← 238.92 m →
57 083 m²		 S 66.973073°
E 95.729370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765907287597656 y=0.753227233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765907287597656 × 216)
    floor (0.765907287597656 × 65536)
    floor (50194.5)     		tx = 50194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753227233886719 × 216)
    floor (0.753227233886719 × 65536)
    floor (49363.5)     		ty = 49363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50194 / 49363 ti = "16/50194/49363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50194/49363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50194 ÷ 216
    50194 ÷ 65536     		x = 0.765899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49363 ÷ 216
    49363 ÷ 65536     		y = 0.753219604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    0.53179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67069683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753219604492188 × 2 - 1) × π
    -0.506439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59102569838966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67069683} λ = 1.67069683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59102569838966))-π/2
    2×atan(0.203716552796683)-π/2
    2×0.20096660081716-π/2
    0.40193320163432-1.57079632675     		φ = -1.16886313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67069683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16886313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.970924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50194 KachelY 49363 1.67069683 -1.16886313 95.723877 -66.970924
    Oben rechts KachelX + 1 50195 KachelY 49363 1.67079270 -1.16886313 95.729370 -66.970924
    Unten links KachelX 50194 KachelY + 1 49364 1.67069683 -1.16890063 95.723877 -66.973073
    Unten rechts KachelX + 1 50195 KachelY + 1 49364 1.67079270 -1.16890063 95.729370 -66.973073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16886313--1.16890063) × R
    3.74999999999126e-05 × 6371000     		dl = 238.912499999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16886313--1.16890063) × R
    3.74999999999126e-05 × 6371000     		dr = 238.912499999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67069683-1.67079270) × cos(-1.16886313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391198205684481 × 6371000     		do = 238.93907967802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67069683-1.67079270) × cos(-1.16890063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391163693917513 × 6371000     		du = 238.918000312835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16886313)-sin(-1.16890063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391198205684481-0.391163693917513)×R²
    abs(1.67079270-1.67069683)×3.45117669679484e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45117669679484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45117669679484e-05×40589641000000     		ar = 57083.0148181961m²