Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50191 / 49785
↖ ↑ ↗
← S 67.861055°
E 95.707397°		 ← 230.20 m → S 67.861055°
E 95.712891°		 →
↑
230.18 m
↓
↑
230.18 m
↓
S 67.863125°
E 95.707397°		 ← 230.18 m →
52 986 m²		 S 67.863125°
E 95.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765861511230469 y=0.759666442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765861511230469 × 216)
    floor (0.765861511230469 × 65536)
    floor (50191.5)     		tx = 50191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759666442871094 × 216)
    floor (0.759666442871094 × 65536)
    floor (49785.5)     		ty = 49785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50191 / 49785 ti = "16/50191/49785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50191/49785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50191 ÷ 216
    50191 ÷ 65536     		x = 0.765853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49785 ÷ 216
    49785 ÷ 65536     		y = 0.759658813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765853881835938 × 2 - 1) × π
    0.531707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67040920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759658813476562 × 2 - 1) × π
    -0.519317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63148444166899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67040920} λ = 1.67040920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63148444166899))-π/2
    2×atan(0.19563894386809)-π/2
    2×0.193198741542429-π/2
    0.386397483084858-1.57079632675     		φ = -1.18439884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67040920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.707397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18439884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.861055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50191 KachelY 49785 1.67040920 -1.18439884 95.707397 -67.861055
    Oben rechts KachelX + 1 50192 KachelY 49785 1.67050508 -1.18439884 95.712891 -67.861055
    Unten links KachelX 50191 KachelY + 1 49786 1.67040920 -1.18443497 95.707397 -67.863125
    Unten rechts KachelX + 1 50192 KachelY + 1 49786 1.67050508 -1.18443497 95.712891 -67.863125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18439884--1.18443497) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dl = 230.184230000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18439884--1.18443497) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dr = 230.184230000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67040920-1.67050508) × cos(-1.18439884) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.376853958169435 × 6371000     		do = 230.20179809204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67040920-1.67050508) × cos(-1.18443497) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.376820491691224 × 6371000     		du = 230.181355044294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18439884)-sin(-1.18443497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376853958169435-0.376820491691224)×R²
    abs(1.67050508-1.67040920)×3.34664782111194e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.34664782111194e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.34664782111194e-05×40589641000000     		ar = 52986.470810817m²