Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50191 / 48685
↖ ↑ ↗
← S 65.469666°
E 95.707397°		 ← 253.61 m → S 65.469666°
E 95.712891°		 →
↑
253.57 m
↓
↑
253.57 m
↓
S 65.471947°
E 95.707397°		 ← 253.59 m →
64 304 m²		 S 65.471947°
E 95.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765861511230469 y=0.742881774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765861511230469 × 216)
    floor (0.765861511230469 × 65536)
    floor (50191.5)     		tx = 50191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742881774902344 × 216)
    floor (0.742881774902344 × 65536)
    floor (48685.5)     		ty = 48685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50191 / 48685 ti = "16/50191/48685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50191/48685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50191 ÷ 216
    50191 ÷ 65536     		x = 0.765853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48685 ÷ 216
    48685 ÷ 65536     		y = 0.742874145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765853881835938 × 2 - 1) × π
    0.531707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67040920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742874145507812 × 2 - 1) × π
    -0.485748291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52602326250487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67040920} λ = 1.67040920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52602326250487))-π/2
    2×atan(0.217398487290444)-π/2
    2×0.214067542356202-π/2
    0.428135084712405-1.57079632675     		φ = -1.14266124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67040920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.707397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14266124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.469666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50191 KachelY 48685 1.67040920 -1.14266124 95.707397 -65.469666
    Oben rechts KachelX + 1 50192 KachelY 48685 1.67050508 -1.14266124 95.712891 -65.469666
    Unten links KachelX 50191 KachelY + 1 48686 1.67040920 -1.14270104 95.707397 -65.471947
    Unten rechts KachelX + 1 50192 KachelY + 1 48686 1.67050508 -1.14270104 95.712891 -65.471947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14266124--1.14270104) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dl = 253.565799999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14266124--1.14270104) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dr = 253.565799999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67040920-1.67050508) × cos(-1.14266124) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.41517493626471 × 6371000     		do = 253.610224276625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67040920-1.67050508) × cos(-1.14270104) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.415138728220354 × 6371000     		du = 253.588106539142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14266124)-sin(-1.14270104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41517493626471-0.415138728220354)×R²
    abs(1.67050508-1.67040920)×3.62080443556678e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.62080443556678e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.62080443556678e-05×40589641000000     		ar = 64304.0752646118m²