Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50187 / 82955
↖ ↑ ↗
← S 43.090955°
W 42.157287°		 ← 223 m → S 43.090955°
W 42.154541°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 43.092961°
W 42.157287°		 ← 222.99 m →
49 738 m²		 S 43.092961°
W 42.154541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382900238037109 y=0.632900238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382900238037109 × 217)
    floor (0.382900238037109 × 131072)
    floor (50187.5)     		tx = 50187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632900238037109 × 217)
    floor (0.632900238037109 × 131072)
    floor (82955.5)     		ty = 82955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50187 / 82955 ti = "17/50187/82955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50187/82955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50187 ÷ 217
    50187 ÷ 131072     		x = 0.382896423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82955 ÷ 217
    82955 ÷ 131072     		y = 0.632896423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382896423339844 × 2 - 1) × π
    -0.234207153320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.73578347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632896423339844 × 2 - 1) × π
    -0.265792846679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.835012854481758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73578347} λ = -0.73578347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835012854481758))-π/2
    2×atan(0.43386890423723)-π/2
    2×0.409358642438525-π/2
    0.818717284877051-1.57079632675     		φ = -0.75207904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73578347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.157287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75207904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.090955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50187 KachelY 82955 -0.73578347 -0.75207904 -42.157287 -43.090955
    Oben rechts KachelX + 1 50188 KachelY 82955 -0.73573554 -0.75207904 -42.154541 -43.090955
    Unten links KachelX 50187 KachelY + 1 82956 -0.73578347 -0.75211405 -42.157287 -43.092961
    Unten rechts KachelX + 1 50188 KachelY + 1 82956 -0.73573554 -0.75211405 -42.154541 -43.092961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75207904--0.75211405) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75207904--0.75211405) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73578347--0.73573554) × cos(-0.75207904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730270134319009 × 6371000     		do = 222.996770664162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73578347--0.73573554) × cos(-0.75211405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730246216492516 × 6371000     		du = 222.989467068111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75207904)-sin(-0.75211405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730270134319009-0.730246216492516)×R²
    abs(-0.73573554--0.73578347)×2.39178264929141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39178264929141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39178264929141e-05×40589641000000     		ar = 49738.3275069689m²