Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50184 / 57960
↖ ↑ ↗
← N 20.365227°
W 42.165527°		 ← 286.27 m → N 20.365227°
W 42.162781°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.362652°
W 42.165527°		 ← 286.28 m →
81 965 m²		 N 20.362652°
W 42.162781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382877349853516 y=0.442203521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382877349853516 × 217)
    floor (0.382877349853516 × 131072)
    floor (50184.5)     		tx = 50184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442203521728516 × 217)
    floor (0.442203521728516 × 131072)
    floor (57960.5)     		ty = 57960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50184 / 57960 ti = "17/50184/57960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50184/57960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50184 ÷ 217
    50184 ÷ 131072     		x = 0.38287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57960 ÷ 217
    57960 ÷ 131072     		y = 0.44219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44219970703125 × 2 - 1) × π
    0.1156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.363169951521545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73592728} λ = -0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363169951521545))-π/2
    2×atan(1.43788020840608)-π/2
    2×0.963118300115415-π/2
    1.92623660023083-1.57079632675     		φ = 0.35544027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35544027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.365227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50184 KachelY 57960 -0.73592728 0.35544027 -42.165527 20.365227
    Oben rechts KachelX + 1 50185 KachelY 57960 -0.73587935 0.35544027 -42.162781 20.365227
    Unten links KachelX 50184 KachelY + 1 57961 -0.73592728 0.35539533 -42.165527 20.362652
    Unten rechts KachelX + 1 50185 KachelY + 1 57961 -0.73587935 0.35539533 -42.162781 20.362652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35544027-0.35539533) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35544027-0.35539533) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73592728--0.73587935) × cos(0.35544027) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937493364338586 × 6371000     		do = 286.274876845472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73592728--0.73587935) × cos(0.35539533) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937509002653421 × 6371000     		du = 286.279652193036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35544027)-sin(0.35539533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937493364338586-0.937509002653421)×R²
    abs(-0.73587935--0.73592728)×1.5638314835198e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5638314835198e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5638314835198e-05×40589641000000     		ar = 81964.8280180354m²