Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50183 / 49386
↖ ↑ ↗
← S 67.020299°
E 95.663452°		 ← 238.48 m → S 67.020299°
E 95.668945°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 67.022443°
E 95.663452°		 ← 238.46 m →
56 867 m²		 S 67.022443°
E 95.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765739440917969 y=0.753578186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765739440917969 × 216)
    floor (0.765739440917969 × 65536)
    floor (50183.5)     		tx = 50183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753578186035156 × 216)
    floor (0.753578186035156 × 65536)
    floor (49386.5)     		ty = 49386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50183 / 49386 ti = "16/50183/49386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50183/49386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50183 ÷ 216
    50183 ÷ 65536     		x = 0.765731811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49386 ÷ 216
    49386 ÷ 65536     		y = 0.753570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765731811523438 × 2 - 1) × π
    0.531463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66964221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.50714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59323079577219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66964221} λ = 1.66964221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59323079577219))-π/2
    2×atan(0.203267832876718)-π/2
    2×0.200535723147938-π/2
    0.401071446295876-1.57079632675     		φ = -1.16972488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66964221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.663452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16972488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.020299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50183 KachelY 49386 1.66964221 -1.16972488 95.663452 -67.020299
    Oben rechts KachelX + 1 50184 KachelY 49386 1.66973809 -1.16972488 95.668945 -67.020299
    Unten links KachelX 50183 KachelY + 1 49387 1.66964221 -1.16976231 95.663452 -67.022443
    Unten rechts KachelX + 1 50184 KachelY + 1 49387 1.66973809 -1.16976231 95.668945 -67.022443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16972488--1.16976231) × R
    3.7430000000116e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16972488--1.16976231) × R
    3.7430000000116e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66964221-1.66973809) × cos(-1.16972488) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390404986443996 × 6371000     		do = 238.479463769091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66964221-1.66973809) × cos(-1.16976231) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390370526494636 × 6371000     		du = 238.458413858023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16972488)-sin(-1.16976231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390404986443996-0.390370526494636)×R²
    abs(1.66973809-1.66964221)×3.44599493595221e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.44599493595221e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.44599493595221e-05×40589641000000     		ar = 56866.8603582395m²