Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5018 / 9161
↖ ↑ ↗
← N 61.892402°
W124.870605°		 ← 575.52 m → N 61.892402°
W124.859619°		 →
↑
575.62 m
↓
↑
575.62 m
↓
N 61.887226°
W124.870605°		 ← 575.62 m →
331 308 m²		 N 61.887226°
W124.859619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153152465820312 y=0.279586791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153152465820312 × 215)
    floor (0.153152465820312 × 32768)
    floor (5018.5)     		tx = 5018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279586791992188 × 215)
    floor (0.279586791992188 × 32768)
    floor (9161.5)     		ty = 9161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5018 / 9161 ti = "15/5018/9161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5018/9161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5018 ÷ 215
    5018 ÷ 32768     		x = 0.15313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9161 ÷ 215
    9161 ÷ 32768     		y = 0.279571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.6937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17940320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279571533203125 × 2 - 1) × π
    0.44085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.38499290382266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17940320} λ = -2.17940320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38499290382266))-π/2
    2×atan(3.99479755692416)-π/2
    2×1.32551126254741-π/2
    2.65102252509482-1.57079632675     		φ = 1.08022620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17940320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.870605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08022620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.892402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5018 KachelY 9161 -2.17940320 1.08022620 -124.870605 61.892402
    Oben rechts KachelX + 1 5019 KachelY 9161 -2.17921146 1.08022620 -124.859619 61.892402
    Unten links KachelX 5018 KachelY + 1 9162 -2.17940320 1.08013585 -124.870605 61.887226
    Unten rechts KachelX + 1 5019 KachelY + 1 9162 -2.17921146 1.08013585 -124.859619 61.887226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08022620-1.08013585) × R
    9.03500000000168e-05 × 6371000     		dl = 575.619850000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08022620-1.08013585) × R
    9.03500000000168e-05 × 6371000     		dr = 575.619850000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17940320--2.17921146) × cos(1.08022620) × R
    0.000191739999999996 × 0.471128853261427 × 6371000     		do = 575.519483332396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17940320--2.17921146) × cos(1.08013585) × R
    0.000191739999999996 × 0.471208545856808 × 6371000     		du = 575.616833857633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08022620)-sin(1.08013585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471128853261427-0.471208545856808)×R²
    abs(-2.17921146--2.17940320)×7.96925953815975e-05×R²
    0.000191739999999996×7.96925953815975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.96925953815975e-05×40589641000000     		ar = 331308.457340592m²