Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50179 / 49889
↖ ↑ ↗
← S 68.075356°
E 95.641480°		 ← 228.06 m → S 68.075356°
E 95.646973°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
S 68.077407°
E 95.641480°		 ← 228.04 m →
52 014 m²		 S 68.077407°
E 95.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765678405761719 y=0.761253356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765678405761719 × 216)
    floor (0.765678405761719 × 65536)
    floor (50179.5)     		tx = 50179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761253356933594 × 216)
    floor (0.761253356933594 × 65536)
    floor (49889.5)     		ty = 49889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50179 / 49889 ti = "16/50179/49889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50179/49889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50179 ÷ 216
    50179 ÷ 65536     		x = 0.765670776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49889 ÷ 216
    49889 ÷ 65536     		y = 0.761245727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765670776367188 × 2 - 1) × π
    0.531341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66925872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761245727539062 × 2 - 1) × π
    -0.522491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64145531678996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66925872} λ = 1.66925872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64145531678996))-π/2
    2×atan(0.193697945198535)-π/2
    2×0.191328613383127-π/2
    0.382657226766254-1.57079632675     		φ = -1.18813910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66925872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.641480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18813910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.075356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50179 KachelY 49889 1.66925872 -1.18813910 95.641480 -68.075356
    Oben rechts KachelX + 1 50180 KachelY 49889 1.66935459 -1.18813910 95.646973 -68.075356
    Unten links KachelX 50179 KachelY + 1 49890 1.66925872 -1.18817490 95.641480 -68.077407
    Unten rechts KachelX + 1 50180 KachelY + 1 49890 1.66935459 -1.18817490 95.646973 -68.077407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18813910--1.18817490) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18813910--1.18817490) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66925872-1.66935459) × cos(-1.18813910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373386829555217 × 6371000     		do = 228.060108971396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66925872-1.66935459) × cos(-1.18817490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373353618524518 × 6371000     		du = 228.039824080016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18813910)-sin(-1.18817490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373386829555217-0.373353618524518)×R²
    abs(1.66935459-1.66925872)×3.3211030699476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3211030699476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3211030699476e-05×40589641000000     		ar = 52014.0468607501m²