Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50177 / 50711
↖ ↑ ↗
← S 69.700963°
E 95.630493°		 ← 211.89 m → S 69.700963°
E 95.635986°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 69.702868°
E 95.630493°		 ← 211.88 m →
44 898 m²		 S 69.702868°
E 95.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765647888183594 y=0.773796081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765647888183594 × 216)
    floor (0.765647888183594 × 65536)
    floor (50177.5)     		tx = 50177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773796081542969 × 216)
    floor (0.773796081542969 × 65536)
    floor (50711.5)     		ty = 50711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50177 / 50711 ti = "16/50177/50711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50177/50711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50177 ÷ 216
    50177 ÷ 65536     		x = 0.765640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50711 ÷ 216
    50711 ÷ 65536     		y = 0.773788452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765640258789062 × 2 - 1) × π
    0.531280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66906697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773788452148438 × 2 - 1) × π
    -0.547576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72026357976534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66906697} λ = 1.66906697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72026357976534))-π/2
    2×atan(0.179018955917948)-π/2
    2×0.177142520157751-π/2
    0.354285040315502-1.57079632675     		φ = -1.21651129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66906697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21651129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.700963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50177 KachelY 50711 1.66906697 -1.21651129 95.630493 -69.700963
    Oben rechts KachelX + 1 50178 KachelY 50711 1.66916284 -1.21651129 95.635986 -69.700963
    Unten links KachelX 50177 KachelY + 1 50712 1.66906697 -1.21654455 95.630493 -69.702868
    Unten rechts KachelX + 1 50178 KachelY + 1 50712 1.66916284 -1.21654455 95.635986 -69.702868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21651129--1.21654455) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dl = 211.89946000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21651129--1.21654455) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dr = 211.89946000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66906697-1.66916284) × cos(-1.21651129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346919893714703 × 6371000     		do = 211.894428250636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66906697-1.66916284) × cos(-1.21654455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34688869914299 × 6371000     		du = 211.875374987743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21651129)-sin(-1.21654455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346919893714703-0.34688869914299)×R²
    abs(1.66916284-1.66906697)×3.11945717135775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11945717135775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11945717135775e-05×40589641000000     		ar = 44898.2962396404m²