Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50176 / 49872
↖ ↑ ↗
← S 68.040461°
E 95.625000°		 ← 228.41 m → S 68.040461°
E 95.630493°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
S 68.042515°
E 95.625000°		 ← 228.38 m →
52 165 m²		 S 68.042515°
E 95.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765632629394531 y=0.760993957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765632629394531 × 216)
    floor (0.765632629394531 × 65536)
    floor (50176.5)     		tx = 50176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760993957519531 × 216)
    floor (0.760993957519531 × 65536)
    floor (49872.5)     		ty = 49872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50176 / 49872 ti = "16/50176/49872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50176/49872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50176 ÷ 216
    50176 ÷ 65536     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49872 ÷ 216
    49872 ÷ 65536     		y = 0.760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.52197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63982546220288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63982546220288))-π/2
    2×atan(0.19401390209498)-π/2
    2×0.191633126633191-π/2
    0.383266253266382-1.57079632675     		φ = -1.18753007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18753007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.040461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50176 KachelY 49872 1.66897110 -1.18753007 95.625000 -68.040461
    Oben rechts KachelX + 1 50177 KachelY 49872 1.66906697 -1.18753007 95.630493 -68.040461
    Unten links KachelX 50176 KachelY + 1 49873 1.66897110 -1.18756592 95.625000 -68.042515
    Unten rechts KachelX + 1 50177 KachelY + 1 49873 1.66906697 -1.18756592 95.630493 -68.042515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18753007--1.18756592) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dl = 228.400349999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18753007--1.18756592) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dr = 228.400349999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.66906697) × cos(-1.18753007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373951742627355 × 6371000     		do = 228.405150966971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.66906697) × cos(-1.18756592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373918493370429 × 6371000     		du = 228.384842727479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18753007)-sin(-1.18756592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373951742627355-0.373918493370429)×R²
    abs(1.66906697-1.66897110)×3.32492569252163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32492569252163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32492569252163e-05×40589641000000     		ar = 52165.4972236091m²