Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50176 / 48648
↖ ↑ ↗
← S 65.385147°
E 95.625000°		 ← 254.40 m → S 65.385147°
E 95.630493°		 →
↑
254.39 m
↓
↑
254.39 m
↓
S 65.387435°
E 95.625000°		 ← 254.38 m →
64 716 m²		 S 65.387435°
E 95.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765632629394531 y=0.742317199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765632629394531 × 216)
    floor (0.765632629394531 × 65536)
    floor (50176.5)     		tx = 50176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742317199707031 × 216)
    floor (0.742317199707031 × 65536)
    floor (48648.5)     		ty = 48648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50176 / 48648 ti = "16/50176/48648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50176/48648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50176 ÷ 216
    50176 ÷ 65536     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48648 ÷ 216
    48648 ÷ 65536     		y = 0.7423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52247593193298))-π/2
    2×atan(0.218171041032322)-π/2
    2×0.214805112944921-π/2
    0.429610225889843-1.57079632675     		φ = -1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50176 KachelY 48648 1.66897110 -1.14118610 95.625000 -65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 50177 KachelY 48648 1.66906697 -1.14118610 95.630493 -65.385147
    Unten links KachelX 50176 KachelY + 1 48649 1.66897110 -1.14122603 95.625000 -65.387435
    Unten rechts KachelX + 1 50177 KachelY + 1 48649 1.66906697 -1.14122603 95.630493 -65.387435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14118610--1.14122603) × R
    3.99299999997993e-05 × 6371000     		dl = 254.394029998721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14118610--1.14122603) × R
    3.99299999997993e-05 × 6371000     		dr = 254.394029998721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.66906697) × cos(-1.14118610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 254.403172157511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.66906697) × cos(-1.14122603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416480178458745 × 6371000     		du = 254.380999450013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14118610)-sin(-1.14122603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416480178458745)×R²
    abs(1.66906697-1.66897110)×3.63018196942733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63018196942733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63018196942733e-05×40589641000000     		ar = 64715.8279160829m²