Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50175 / 50708
↖ ↑ ↗
← S 69.695245°
E 95.619507°		 ← 211.97 m → S 69.695245°
E 95.625000°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
S 69.697151°
E 95.619507°		 ← 211.95 m →
44 929 m²		 S 69.697151°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765617370605469 y=0.773750305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765617370605469 × 216)
    floor (0.765617370605469 × 65536)
    floor (50175.5)     		tx = 50175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773750305175781 × 216)
    floor (0.773750305175781 × 65536)
    floor (50708.5)     		ty = 50708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50175 / 50708 ti = "16/50175/50708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50175/50708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50175 ÷ 216
    50175 ÷ 65536     		x = 0.765609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50708 ÷ 216
    50708 ÷ 65536     		y = 0.77374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765609741210938 × 2 - 1) × π
    0.531219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66887522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.5474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71997595836761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66887522} λ = 1.66887522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71997595836761))-π/2
    2×atan(0.179070453005744)-π/2
    2×0.177192417680347-π/2
    0.354384835360694-1.57079632675     		φ = -1.21641149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66887522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21641149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.695245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50175 KachelY 50708 1.66887522 -1.21641149 95.619507 -69.695245
    Oben rechts KachelX + 1 50176 KachelY 50708 1.66897110 -1.21641149 95.625000 -69.695245
    Unten links KachelX 50175 KachelY + 1 50709 1.66887522 -1.21644476 95.619507 -69.697151
    Unten rechts KachelX + 1 50176 KachelY + 1 50709 1.66897110 -1.21644476 95.625000 -69.697151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21641149--1.21644476) × R
    3.32699999998631e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21641149--1.21644476) × R
    3.32699999998631e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66887522-1.66897110) × cos(-1.21641149) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347013493884274 × 6371000     		do = 211.973706319041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66887522-1.66897110) × cos(-1.21644476) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346982291085496 × 6371000     		du = 211.954646043227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21641149)-sin(-1.21644476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347013493884274-0.346982291085496)×R²
    abs(1.66897110-1.66887522)×3.12027987786623e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12027987786623e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12027987786623e-05×40589641000000     		ar = 44928.5987136048m²