Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50171 / 50773
↖ ↑ ↗
← S 69.818786°
E 95.597534°		 ← 210.72 m → S 69.818786°
E 95.603027°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 69.820681°
E 95.597534°		 ← 210.70 m →
44 394 m²		 S 69.820681°
E 95.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765556335449219 y=0.774742126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765556335449219 × 216)
    floor (0.765556335449219 × 65536)
    floor (50171.5)     		tx = 50171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774742126464844 × 216)
    floor (0.774742126464844 × 65536)
    floor (50773.5)     		ty = 50773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50171 / 50773 ti = "16/50171/50773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50171/50773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50171 ÷ 216
    50171 ÷ 65536     		x = 0.765548706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50773 ÷ 216
    50773 ÷ 65536     		y = 0.774734497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765548706054688 × 2 - 1) × π
    0.531097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66849173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774734497070312 × 2 - 1) × π
    -0.549468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72620775531822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66849173} λ = 1.66849173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72620775531822))-π/2
    2×atan(0.177957992217858)-π/2
    2×0.176114313295607-π/2
    0.352228626591215-1.57079632675     		φ = -1.21856770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66849173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.597534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21856770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.818786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50171 KachelY 50773 1.66849173 -1.21856770 95.597534 -69.818786
    Oben rechts KachelX + 1 50172 KachelY 50773 1.66858760 -1.21856770 95.603027 -69.818786
    Unten links KachelX 50171 KachelY + 1 50774 1.66849173 -1.21860077 95.597534 -69.820681
    Unten rechts KachelX + 1 50172 KachelY + 1 50774 1.66858760 -1.21860077 95.603027 -69.820681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21856770--1.21860077) × R
    3.30700000001904e-05 × 6371000     		dl = 210.688970001213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21856770--1.21860077) × R
    3.30700000001904e-05 × 6371000     		dr = 210.688970001213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66849173-1.66858760) × cos(-1.21856770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344990465372511 × 6371000     		do = 210.715957016134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66849173-1.66858760) × cos(-1.21860077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344959425477188 × 6371000     		du = 210.696998227688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21856770)-sin(-1.21860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344990465372511-0.344959425477188)×R²
    abs(1.66858760-1.66849173)×3.1039895323437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1039895323437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1039895323437e-05×40589641000000     		ar = 44393.5307467875m²