Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50171 / 48645
↖ ↑ ↗
← S 65.378283°
E 95.597534°		 ← 254.47 m → S 65.378283°
E 95.603027°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
S 65.380571°
E 95.597534°		 ← 254.45 m →
64 749 m²		 S 65.380571°
E 95.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765556335449219 y=0.742271423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765556335449219 × 216)
    floor (0.765556335449219 × 65536)
    floor (50171.5)     		tx = 50171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742271423339844 × 216)
    floor (0.742271423339844 × 65536)
    floor (48645.5)     		ty = 48645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50171 / 48645 ti = "16/50171/48645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50171/48645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50171 ÷ 216
    50171 ÷ 65536     		x = 0.765548706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48645 ÷ 216
    48645 ÷ 65536     		y = 0.742263793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765548706054688 × 2 - 1) × π
    0.531097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66849173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742263793945312 × 2 - 1) × π
    -0.484527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52218831053526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66849173} λ = 1.66849173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52218831053526))-π/2
    2×atan(0.218233800717167)-π/2
    2×0.214865020302863-π/2
    0.429730040605726-1.57079632675     		φ = -1.14106629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66849173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.597534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14106629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.378283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50171 KachelY 48645 1.66849173 -1.14106629 95.597534 -65.378283
    Oben rechts KachelX + 1 50172 KachelY 48645 1.66858760 -1.14106629 95.603027 -65.378283
    Unten links KachelX 50171 KachelY + 1 48646 1.66849173 -1.14110623 95.597534 -65.380571
    Unten rechts KachelX + 1 50172 KachelY + 1 48646 1.66858760 -1.14110623 95.603027 -65.380571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14106629--1.14110623) × R
    3.99400000001826e-05 × 6371000     		dl = 254.457740001163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14106629--1.14110623) × R
    3.99400000001826e-05 × 6371000     		dr = 254.457740001163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66849173-1.66858760) × cos(-1.14106629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416625399934281 × 6371000     		do = 254.469698951212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66849173-1.66858760) × cos(-1.14110623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416589091016431 × 6371000     		du = 254.447521908247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14106629)-sin(-1.14110623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416625399934281-0.416589091016431)×R²
    abs(1.66858760-1.66849173)×3.6308917849448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6308917849448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6308917849448e-05×40589641000000     		ar = 64748.9629424086m²