Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50170 / 48646
↖ ↑ ↗
← S 65.380571°
E 95.592041°		 ← 254.47 m → S 65.380571°
E 95.597534°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
S 65.382859°
E 95.592041°		 ← 254.45 m →
64 750 m²		 S 65.382859°
E 95.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765541076660156 y=0.742286682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765541076660156 × 216)
    floor (0.765541076660156 × 65536)
    floor (50170.5)     		tx = 50170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742286682128906 × 216)
    floor (0.742286682128906 × 65536)
    floor (48646.5)     		ty = 48646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50170 / 48646 ti = "16/50170/48646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50170/48646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50170 ÷ 216
    50170 ÷ 65536     		x = 0.765533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48646 ÷ 216
    48646 ÷ 65536     		y = 0.742279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765533447265625 × 2 - 1) × π
    0.53106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66839585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.48455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5222841843345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66839585} λ = 1.66839585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5222841843345))-π/2
    2×atan(0.218212878816517)-π/2
    2×0.214845049443037-π/2
    0.429690098886075-1.57079632675     		φ = -1.14110623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66839585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14110623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.380571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50170 KachelY 48646 1.66839585 -1.14110623 95.592041 -65.380571
    Oben rechts KachelX + 1 50171 KachelY 48646 1.66849173 -1.14110623 95.597534 -65.380571
    Unten links KachelX 50170 KachelY + 1 48647 1.66839585 -1.14114617 95.592041 -65.382859
    Unten rechts KachelX + 1 50171 KachelY + 1 48647 1.66849173 -1.14114617 95.597534 -65.382859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14110623--1.14114617) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dl = 254.457739999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14110623--1.14114617) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dr = 254.457739999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66839585-1.66849173) × cos(-1.14110623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416589091016431 × 6371000     		do = 254.474062799075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66839585-1.66849173) × cos(-1.14114617) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416552781434037 × 6371000     		du = 254.451883036931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14110623)-sin(-1.14114617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416589091016431-0.416552781434037)×R²
    abs(1.66849173-1.66839585)×3.63095823936455e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.63095823936455e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.63095823936455e-05×40589641000000     		ar = 64750.0730110339m²