Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5017 / 9163
↖ ↑ ↗
← N 61.882048°
W124.881592°		 ← 575.74 m → N 61.882048°
W124.870605°		 →
↑
575.75 m
↓
↑
575.75 m
↓
N 61.876870°
W124.881592°		 ← 575.84 m →
331 511 m²		 N 61.876870°
W124.870605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153121948242188 y=0.279647827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153121948242188 × 215)
    floor (0.153121948242188 × 32768)
    floor (5017.5)     		tx = 5017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279647827148438 × 215)
    floor (0.279647827148438 × 32768)
    floor (9163.5)     		ty = 9163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5017 / 9163 ti = "15/5017/9163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5017/9163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5017 ÷ 215
    5017 ÷ 32768     		x = 0.153106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9163 ÷ 215
    9163 ÷ 32768     		y = 0.279632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.69378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17959495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279632568359375 × 2 - 1) × π
    0.44073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3846094086257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17959495} λ = -2.17959495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3846094086257))-π/2
    2×atan(3.99326586496528)-π/2
    2×1.32542090944053-π/2
    2.65084181888106-1.57079632675     		φ = 1.08004549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17959495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.881592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08004549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.882048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5017 KachelY 9163 -2.17959495 1.08004549 -124.881592 61.882048
    Oben rechts KachelX + 1 5018 KachelY 9163 -2.17940320 1.08004549 -124.870605 61.882048
    Unten links KachelX 5017 KachelY + 1 9164 -2.17959495 1.07995512 -124.881592 61.876870
    Unten rechts KachelX + 1 5018 KachelY + 1 9164 -2.17940320 1.07995512 -124.870605 61.876870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08004549-1.07995512) × R
    9.03700000001173e-05 × 6371000     		dl = 575.747270000747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08004549-1.07995512) × R
    9.03700000001173e-05 × 6371000     		dr = 575.747270000747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17959495--2.17940320) × cos(1.08004549) × R
    0.000191749999999935 × 0.471288243425449 × 6371000     		do = 575.744216231888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17959495--2.17940320) × cos(1.07995512) × R
    0.000191749999999935 × 0.471367945965422 × 6371000     		du = 575.841583983043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08004549)-sin(1.07995512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471288243425449-0.471367945965422)×R²
    abs(-2.17940320--2.17959495)×7.97025399723039e-05×R²
    0.000191749999999935×7.97025399723039e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.97025399723039e-05×40589641000000     		ar = 331511.190548179m²