Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5017 / 9162
↖ ↑ ↗
← N 61.887226°
W124.881592°		 ← 575.65 m → N 61.887226°
W124.870605°		 →
↑
575.68 m
↓
↑
575.68 m
↓
N 61.882048°
W124.881592°		 ← 575.74 m →
331 418 m²		 N 61.882048°
W124.870605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153121948242188 y=0.279617309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153121948242188 × 215)
    floor (0.153121948242188 × 32768)
    floor (5017.5)     		tx = 5017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279617309570312 × 215)
    floor (0.279617309570312 × 32768)
    floor (9162.5)     		ty = 9162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5017 / 9162 ti = "15/5017/9162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5017/9162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5017 ÷ 215
    5017 ÷ 32768     		x = 0.153106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9162 ÷ 215
    9162 ÷ 32768     		y = 0.27960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.69378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17959495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27960205078125 × 2 - 1) × π
    0.4407958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.38480115622418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17959495} λ = -2.17959495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38480115622418))-π/2
    2×atan(3.99403163752016)-π/2
    2×1.32546608981422-π/2
    2.65093217962845-1.57079632675     		φ = 1.08013585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17959495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.881592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08013585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.887226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5017 KachelY 9162 -2.17959495 1.08013585 -124.881592 61.887226
    Oben rechts KachelX + 1 5018 KachelY 9162 -2.17940320 1.08013585 -124.870605 61.887226
    Unten links KachelX 5017 KachelY + 1 9163 -2.17959495 1.08004549 -124.881592 61.882048
    Unten rechts KachelX + 1 5018 KachelY + 1 9163 -2.17940320 1.08004549 -124.870605 61.882048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08013585-1.08004549) × R
    9.0359999999956e-05 × 6371000     		dl = 575.68355999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08013585-1.08004549) × R
    9.0359999999956e-05 × 6371000     		dr = 575.68355999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17959495--2.17940320) × cos(1.08013585) × R
    0.000191749999999935 × 0.471208545856808 × 6371000     		do = 575.646854553907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17959495--2.17940320) × cos(1.08004549) × R
    0.000191749999999935 × 0.471288243425449 × 6371000     		du = 575.744216231888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08013585)-sin(1.08004549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471208545856808-0.471288243425449)×R²
    abs(-2.17940320--2.17959495)×7.96975686409573e-05×R²
    0.000191749999999935×7.96975686409573e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.96975686409573e-05×40589641000000     		ar = 331418.455515844m²