Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5017 / 7129
↖ ↑ ↗
← N 70.754344°
W124.881592°		 ← 402.68 m → N 70.754344°
W124.870605°		 →
↑
402.71 m
↓
↑
402.71 m
↓
N 70.750723°
W124.881592°		 ← 402.75 m →
162 177 m²		 N 70.750723°
W124.870605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153121948242188 y=0.217575073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153121948242188 × 215)
    floor (0.153121948242188 × 32768)
    floor (5017.5)     		tx = 5017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217575073242188 × 215)
    floor (0.217575073242188 × 32768)
    floor (7129.5)     		ty = 7129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5017 / 7129 ti = "15/5017/7129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5017/7129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5017 ÷ 215
    5017 ÷ 32768     		x = 0.153106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7129 ÷ 215
    7129 ÷ 32768     		y = 0.217559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.69378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17959495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217559814453125 × 2 - 1) × π
    0.56488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17959495} λ = -2.17959495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77462402393448))-π/2
    2×atan(5.89806318880563)-π/2
    2×1.40284630051638-π/2
    2.80569260103276-1.57079632675     		φ = 1.23489627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17959495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.881592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23489627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.754344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5017 KachelY 7129 -2.17959495 1.23489627 -124.881592 70.754344
    Oben rechts KachelX + 1 5018 KachelY 7129 -2.17940320 1.23489627 -124.870605 70.754344
    Unten links KachelX 5017 KachelY + 1 7130 -2.17959495 1.23483306 -124.881592 70.750723
    Unten rechts KachelX + 1 5018 KachelY + 1 7130 -2.17940320 1.23483306 -124.870605 70.750723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23489627-1.23483306) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dl = 402.710909999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23489627-1.23483306) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dr = 402.710909999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17959495--2.17940320) × cos(1.23489627) × R
    0.000191749999999935 × 0.32961905950718 × 6371000     		do = 402.675580641921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17959495--2.17940320) × cos(1.23483306) × R
    0.000191749999999935 × 0.329678736295608 × 6371000     		du = 402.748484148978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23489627)-sin(1.23483306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32961905950718-0.329678736295608)×R²
    abs(-2.17940320--2.17959495)×5.9676788427887e-05×R²
    0.000191749999999935×5.9676788427887e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.9676788427887e-05×40589641000000     		ar = 162176.529088096m²