Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50169 / 48652
↖ ↑ ↗
← S 65.394298°
E 95.586548°		 ← 254.31 m → S 65.394298°
E 95.592041°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
S 65.396585°
E 95.586548°		 ← 254.29 m →
64 661 m²		 S 65.396585°
E 95.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765525817871094 y=0.742378234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765525817871094 × 216)
    floor (0.765525817871094 × 65536)
    floor (50169.5)     		tx = 50169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742378234863281 × 216)
    floor (0.742378234863281 × 65536)
    floor (48652.5)     		ty = 48652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50169 / 48652 ti = "16/50169/48652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50169/48652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50169 ÷ 216
    50169 ÷ 65536     		x = 0.765518188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48652 ÷ 216
    48652 ÷ 65536     		y = 0.74237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765518188476562 × 2 - 1) × π
    0.531036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66829998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.4847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52285942712994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66829998} λ = 1.66829998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52285942712994))-π/2
    2×atan(0.21808738952697)-π/2
    2×0.214725260831478-π/2
    0.429450521662956-1.57079632675     		φ = -1.14134581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66829998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.586548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14134581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.394298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50169 KachelY 48652 1.66829998 -1.14134581 95.586548 -65.394298
    Oben rechts KachelX + 1 50170 KachelY 48652 1.66839585 -1.14134581 95.592041 -65.394298
    Unten links KachelX 50169 KachelY + 1 48653 1.66829998 -1.14138572 95.586548 -65.396585
    Unten rechts KachelX + 1 50170 KachelY + 1 48653 1.66839585 -1.14138572 95.592041 -65.396585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14134581--1.14138572) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dl = 254.266609999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14134581--1.14138572) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dr = 254.266609999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66829998-1.66839585) × cos(-1.14134581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416371278107611 × 6371000     		do = 254.314484447392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66829998-1.66839585) × cos(-1.14138572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416334991816504 × 6371000     		du = 254.292321224565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14134581)-sin(-1.14138572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416371278107611-0.416334991816504)×R²
    abs(1.66839585-1.66829998)×3.62862911070239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62862911070239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62862911070239e-05×40589641000000     		ar = 64660.8641590587m²