Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50167 / 49354
↖ ↑ ↗
← S 66.951576°
E 95.575561°		 ← 239.15 m → S 66.951576°
E 95.581055°		 →
↑
239.10 m
↓
↑
239.10 m
↓
S 66.953726°
E 95.575561°		 ← 239.13 m →
57 180 m²		 S 66.953726°
E 95.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765495300292969 y=0.753089904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765495300292969 × 216)
    floor (0.765495300292969 × 65536)
    floor (50167.5)     		tx = 50167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753089904785156 × 216)
    floor (0.753089904785156 × 65536)
    floor (49354.5)     		ty = 49354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50167 / 49354 ti = "16/50167/49354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50167/49354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50167 ÷ 216
    50167 ÷ 65536     		x = 0.765487670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49354 ÷ 216
    49354 ÷ 65536     		y = 0.753082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765487670898438 × 2 - 1) × π
    0.530975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66810823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.50616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5901628341965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66810823} λ = 1.66810823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5901628341965))-π/2
    2×atan(0.203892408374475)-π/2
    2×0.201135443307926-π/2
    0.402270886615852-1.57079632675     		φ = -1.16852544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66810823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.575561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16852544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.951576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50167 KachelY 49354 1.66810823 -1.16852544 95.575561 -66.951576
    Oben rechts KachelX + 1 50168 KachelY 49354 1.66820411 -1.16852544 95.581055 -66.951576
    Unten links KachelX 50167 KachelY + 1 49355 1.66810823 -1.16856297 95.575561 -66.953726
    Unten rechts KachelX + 1 50168 KachelY + 1 49355 1.66820411 -1.16856297 95.581055 -66.953726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16852544--1.16856297) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dl = 239.103629999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16852544--1.16856297) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dr = 239.103629999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66810823-1.66820411) × cos(-1.16852544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391508961658982 × 6371000     		do = 239.153828662495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66810823-1.66820411) × cos(-1.16856297) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391474427241983 × 6371000     		du = 239.132733262761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16852544)-sin(-1.16856297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391508961658982-0.391474427241983)×R²
    abs(1.66820411-1.66810823)×3.45344169986883e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.45344169986883e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.45344169986883e-05×40589641000000     		ar = 57180.0265750178m²