Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50166 / 49890
↖ ↑ ↗
← S 68.077407°
E 95.570068°		 ← 228.04 m → S 68.077407°
E 95.575561°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
S 68.079458°
E 95.570068°		 ← 228.02 m →
51 995 m²		 S 68.079458°
E 95.575561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765480041503906 y=0.761268615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765480041503906 × 216)
    floor (0.765480041503906 × 65536)
    floor (50166.5)     		tx = 50166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761268615722656 × 216)
    floor (0.761268615722656 × 65536)
    floor (49890.5)     		ty = 49890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50166 / 49890 ti = "16/50166/49890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50166/49890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50166 ÷ 216
    50166 ÷ 65536     		x = 0.765472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49890 ÷ 216
    49890 ÷ 65536     		y = 0.761260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765472412109375 × 2 - 1) × π
    0.53094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66801236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.52252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6415511905892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66801236} λ = 1.66801236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6415511905892))-π/2
    2×atan(0.19367937553081)-π/2
    2×0.191310715172107-π/2
    0.382621430344215-1.57079632675     		φ = -1.18817490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66801236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.570068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18817490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.077407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50166 KachelY 49890 1.66801236 -1.18817490 95.570068 -68.077407
    Oben rechts KachelX + 1 50167 KachelY 49890 1.66810823 -1.18817490 95.575561 -68.077407
    Unten links KachelX 50166 KachelY + 1 49891 1.66801236 -1.18821069 95.570068 -68.079458
    Unten rechts KachelX + 1 50167 KachelY + 1 49891 1.66810823 -1.18821069 95.575561 -68.079458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18817490--1.18821069) × R
    3.5790000000091e-05 × 6371000     		dl = 228.01809000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18817490--1.18821069) × R
    3.5790000000091e-05 × 6371000     		dr = 228.01809000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66801236-1.66810823) × cos(-1.18817490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373353618524518 × 6371000     		do = 228.039824080016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66801236-1.66810823) × cos(-1.18821069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373320416292338 × 6371000     		du = 228.019544562664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18817490)-sin(-1.18821069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373353618524518-0.373320416292338)×R²
    abs(1.66810823-1.66801236)×3.32022321797298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32022321797298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32022321797298e-05×40589641000000     		ar = 51994.8930879491m²