Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50165 / 49815
↖ ↑ ↗
← S 67.923076°
E 95.564575°		 ← 229.57 m → S 67.923076°
E 95.570068°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
S 67.925141°
E 95.564575°		 ← 229.54 m →
52 708 m²		 S 67.925141°
E 95.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765464782714844 y=0.760124206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765464782714844 × 216)
    floor (0.765464782714844 × 65536)
    floor (50165.5)     		tx = 50165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760124206542969 × 216)
    floor (0.760124206542969 × 65536)
    floor (49815.5)     		ty = 49815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50165 / 49815 ti = "16/50165/49815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50165/49815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50165 ÷ 216
    50165 ÷ 65536     		x = 0.765457153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49815 ÷ 216
    49815 ÷ 65536     		y = 0.760116577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765457153320312 × 2 - 1) × π
    0.530914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66791649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760116577148438 × 2 - 1) × π
    -0.520233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63436065564619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66791649} λ = 1.66791649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63436065564619))-π/2
    2×atan(0.195077052850009)-π/2
    2×0.192657506630268-π/2
    0.385315013260536-1.57079632675     		φ = -1.18548131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66791649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.564575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18548131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.923076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50165 KachelY 49815 1.66791649 -1.18548131 95.564575 -67.923076
    Oben rechts KachelX + 1 50166 KachelY 49815 1.66801236 -1.18548131 95.570068 -67.923076
    Unten links KachelX 50165 KachelY + 1 49816 1.66791649 -1.18551735 95.564575 -67.925141
    Unten rechts KachelX + 1 50166 KachelY + 1 49816 1.66801236 -1.18551735 95.570068 -67.925141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18548131--1.18551735) × R
    3.6040000000126e-05 × 6371000     		dl = 229.610840000803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18548131--1.18551735) × R
    3.6040000000126e-05 × 6371000     		dr = 229.610840000803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66791649-1.66801236) × cos(-1.18548131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375851075180034 × 6371000     		do = 229.56524006131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66791649-1.66801236) × cos(-1.18551735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375817677385892 × 6371000     		du = 229.544841097103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18548131)-sin(-1.18551735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375851075180034-0.375817677385892)×R²
    abs(1.66801236-1.66791649)×3.3397794142187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3397794142187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3397794142187e-05×40589641000000     		ar = 52708.3256995926m²