Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5016 / 2408
↖ ↑ ↗
← N 77.579959°
W 69.785157°		 ← 525.49 m → N 77.579959°
W 69.763184°		 →
↑
525.61 m
↓
↑
525.61 m
↓
N 77.575232°
W 69.785157°		 ← 525.69 m →
276 255 m²		 N 77.575232°
W 69.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306182861328125 y=0.147003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306182861328125 × 214)
    floor (0.306182861328125 × 16384)
    floor (5016.5)     		tx = 5016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147003173828125 × 214)
    floor (0.147003173828125 × 16384)
    floor (2408.5)     		ty = 2408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5016 / 2408 ti = "14/5016/2408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5016/2408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5016 ÷ 214
    5016 ÷ 16384     		x = 0.30615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2408 ÷ 214
    2408 ÷ 16384     		y = 0.14697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30615234375 × 2 - 1) × π
    -0.3876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.21798075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    0.7060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21813621921924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21798075} λ = -1.21798075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21813621921924))-π/2
    2×atan(9.19018640129696)-π/2
    2×1.4624110237034-π/2
    2.9248220474068-1.57079632675     		φ = 1.35402572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21798075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.785157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35402572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5016 KachelY 2408 -1.21798075 1.35402572 -69.785157 77.579959
    Oben rechts KachelX + 1 5017 KachelY 2408 -1.21759725 1.35402572 -69.763184 77.579959
    Unten links KachelX 5016 KachelY + 1 2409 -1.21798075 1.35394322 -69.785157 77.575232
    Unten rechts KachelX + 1 5017 KachelY + 1 2409 -1.21759725 1.35394322 -69.763184 77.575232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35402572-1.35394322) × R
    8.25000000002074e-05 × 6371000     		dl = 525.607500001321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35402572-1.35394322) × R
    8.25000000002074e-05 × 6371000     		dr = 525.607500001321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21798075--1.21759725) × cos(1.35402572) × R
    0.00038349999999987 × 0.215076934011791 × 6371000     		do = 525.492848716749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21798075--1.21759725) × cos(1.35394322) × R
    0.00038349999999987 × 0.215157502541223 × 6371000     		du = 525.689700072486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35402572)-sin(1.35394322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215076934011791-0.215157502541223)×R²
    abs(-1.21759725--1.21798075)×8.05685294316683e-05×R²
    0.00038349999999987×8.05685294316683e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.05685294316683e-05×40589641000000     		ar = 276254.715912383m²