Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50156 / 50992
↖ ↑ ↗
← S 70.229744°
E 95.515137°		 ← 206.60 m → S 70.229744°
E 95.520630°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
S 70.231602°
E 95.515137°		 ← 206.58 m →
42 684 m²		 S 70.231602°
E 95.520630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765327453613281 y=0.778083801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765327453613281 × 216)
    floor (0.765327453613281 × 65536)
    floor (50156.5)     		tx = 50156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778083801269531 × 216)
    floor (0.778083801269531 × 65536)
    floor (50992.5)     		ty = 50992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50156 / 50992 ti = "16/50156/50992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50156/50992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50156 ÷ 216
    50156 ÷ 65536     		x = 0.76531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50992 ÷ 216
    50992 ÷ 65536     		y = 0.778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76531982421875 × 2 - 1) × π
    0.5306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66705362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.55615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74720411735181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66705362} λ = 1.66705362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74720411735181))-π/2
    2×atan(0.174260474829033)-π/2
    2×0.172528026264338-π/2
    0.345056052528676-1.57079632675     		φ = -1.22574027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66705362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.515137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22574027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.229744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50156 KachelY 50992 1.66705362 -1.22574027 95.515137 -70.229744
    Oben rechts KachelX + 1 50157 KachelY 50992 1.66714949 -1.22574027 95.520630 -70.229744
    Unten links KachelX 50156 KachelY + 1 50993 1.66705362 -1.22577270 95.515137 -70.231602
    Unten rechts KachelX + 1 50157 KachelY + 1 50993 1.66714949 -1.22577270 95.520630 -70.231602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22574027--1.22577270) × R
    3.24300000000832e-05 × 6371000     		dl = 206.61153000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22574027--1.22577270) × R
    3.24300000000832e-05 × 6371000     		dr = 206.61153000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66705362-1.66714949) × cos(-1.22574027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338249430390024 × 6371000     		do = 206.598615291689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66705362-1.66714949) × cos(-1.22577270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338218911750095 × 6371000     		du = 206.579974879663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22574027)-sin(-1.22577270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338249430390024-0.338218911750095)×R²
    abs(1.66714949-1.66705362)×3.05186399289226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05186399289226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05186399289226e-05×40589641000000     		ar = 42683.7303429324m²