Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50153 / 48419
↖ ↑ ↗
← S 64.855940°
E 95.498657°		 ← 259.52 m → S 64.855940°
E 95.504150°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 64.858274°
E 95.498657°		 ← 259.50 m →
67 340 m²		 S 64.858274°
E 95.504150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765281677246094 y=0.738822937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765281677246094 × 216)
    floor (0.765281677246094 × 65536)
    floor (50153.5)     		tx = 50153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738822937011719 × 216)
    floor (0.738822937011719 × 65536)
    floor (48419.5)     		ty = 48419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50153 / 48419 ti = "16/50153/48419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50153/48419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50153 ÷ 216
    50153 ÷ 65536     		x = 0.765274047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48419 ÷ 216
    48419 ÷ 65536     		y = 0.738815307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765274047851562 × 2 - 1) × π
    0.530548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66676600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738815307617188 × 2 - 1) × π
    -0.477630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.500520831907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66676600} λ = 1.66676600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.500520831907))-π/2
    2×atan(0.223013977100157)-π/2
    2×0.219423315073807-π/2
    0.438846630147614-1.57079632675     		φ = -1.13194970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66676600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.498657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13194970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.855940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50153 KachelY 48419 1.66676600 -1.13194970 95.498657 -64.855940
    Oben rechts KachelX + 1 50154 KachelY 48419 1.66686187 -1.13194970 95.504150 -64.855940
    Unten links KachelX 50153 KachelY + 1 48420 1.66676600 -1.13199043 95.498657 -64.858274
    Unten rechts KachelX + 1 50154 KachelY + 1 48420 1.66686187 -1.13199043 95.504150 -64.858274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13194970--1.13199043) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13194970--1.13199043) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66676600-1.66686187) × cos(-1.13194970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424895665664567 × 6371000     		do = 259.521076113921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66676600-1.66686187) × cos(-1.13199043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424858794792101 × 6371000     		du = 259.498555835949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13194970)-sin(-1.13199043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424895665664567-0.424858794792101)×R²
    abs(1.66686187-1.66676600)×3.68708724661215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68708724661215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68708724661215e-05×40589641000000     		ar = 67340.4175500157m²