Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50152 / 51016
↖ ↑ ↗
← S 70.274289°
E 95.493164°		 ← 206.15 m → S 70.274289°
E 95.498657°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
S 70.276144°
E 95.493164°		 ← 206.13 m →
42 499 m²		 S 70.276144°
E 95.498657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765266418457031 y=0.778450012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765266418457031 × 216)
    floor (0.765266418457031 × 65536)
    floor (50152.5)     		tx = 50152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778450012207031 × 216)
    floor (0.778450012207031 × 65536)
    floor (51016.5)     		ty = 51016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50152 / 51016 ti = "16/50152/51016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50152/51016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50152 ÷ 216
    50152 ÷ 65536     		x = 0.7652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51016 ÷ 216
    51016 ÷ 65536     		y = 0.7784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7652587890625 × 2 - 1) × π
    0.530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66667013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66667013} λ = 1.66667013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74950508853357))-π/2
    2×atan(0.173859967453002)-π/2
    2×0.172139296231379-π/2
    0.344278592462757-1.57079632675     		φ = -1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66667013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50152 KachelY 51016 1.66667013 -1.22651773 95.493164 -70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 50153 KachelY 51016 1.66676600 -1.22651773 95.498657 -70.274289
    Unten links KachelX 50152 KachelY + 1 51017 1.66667013 -1.22655009 95.493164 -70.276144
    Unten rechts KachelX + 1 50153 KachelY + 1 51017 1.66676600 -1.22655009 95.498657 -70.276144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22651773--1.22655009) × R
    3.23599999998425e-05 × 6371000     		dl = 206.165559998997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22651773--1.22655009) × R
    3.23599999998425e-05 × 6371000     		dr = 206.165559998997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66667013-1.66676600) × cos(-1.22651773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 206.15167993252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66667013-1.66676600) × cos(-1.22655009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337487233190828 × 6371000     		du = 206.133074564091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22651773)-sin(-1.22655009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337487233190828)×R²
    abs(1.66676600-1.66667013)×3.04612655038228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04612655038228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04612655038228e-05×40589641000000     		ar = 42499.4586487464m²