Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50151 / 48424
↖ ↑ ↗
← S 64.867608°
E 95.487671°		 ← 259.44 m → S 64.867608°
E 95.493164°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
S 64.869941°
E 95.487671°		 ← 259.41 m →
67 302 m²		 S 64.869941°
E 95.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765251159667969 y=0.738899230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765251159667969 × 216)
    floor (0.765251159667969 × 65536)
    floor (50151.5)     		tx = 50151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738899230957031 × 216)
    floor (0.738899230957031 × 65536)
    floor (48424.5)     		ty = 48424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50151 / 48424 ti = "16/50151/48424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50151/48424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50151 ÷ 216
    50151 ÷ 65536     		x = 0.765243530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48424 ÷ 216
    48424 ÷ 65536     		y = 0.7388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765243530273438 × 2 - 1) × π
    0.530487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66657425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5010002009032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66657425} λ = 1.66657425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5010002009032))-π/2
    2×atan(0.222907096733429)-π/2
    2×0.219321496262899-π/2
    0.438642992525797-1.57079632675     		φ = -1.13215333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66657425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.487671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13215333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.867608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50151 KachelY 48424 1.66657425 -1.13215333 95.487671 -64.867608
    Oben rechts KachelX + 1 50152 KachelY 48424 1.66667013 -1.13215333 95.493164 -64.867608
    Unten links KachelX 50151 KachelY + 1 48425 1.66657425 -1.13219405 95.487671 -64.869941
    Unten rechts KachelX + 1 50152 KachelY + 1 48425 1.66667013 -1.13219405 95.493164 -64.869941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13215333--1.13219405) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dl = 259.42712000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13215333--1.13219405) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dr = 259.42712000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66657425-1.66667013) × cos(-1.13215333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.424711322361303 × 6371000     		do = 259.435539836989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66657425-1.66667013) × cos(-1.13219405) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.424674457019194 × 6371000     		du = 259.413020588201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13215333)-sin(-1.13219405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424711322361303-0.424674457019194)×R²
    abs(1.66667013-1.66657425)×3.68653421085052e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.68653421085052e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.68653421085052e-05×40589641000000     		ar = 67301.6938828206m²