Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50150 / 49789
↖ ↑ ↗
← S 67.869334°
E 95.482178°		 ← 230.10 m → S 67.869334°
E 95.487671°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 67.871404°
E 95.482178°		 ← 230.08 m →
52 947 m²		 S 67.871404°
E 95.487671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765235900878906 y=0.759727478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765235900878906 × 216)
    floor (0.765235900878906 × 65536)
    floor (50150.5)     		tx = 50150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759727478027344 × 216)
    floor (0.759727478027344 × 65536)
    floor (49789.5)     		ty = 49789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50150 / 49789 ti = "16/50150/49789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50150/49789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50150 ÷ 216
    50150 ÷ 65536     		x = 0.765228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49789 ÷ 216
    49789 ÷ 65536     		y = 0.759719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765228271484375 × 2 - 1) × π
    0.53045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66647838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759719848632812 × 2 - 1) × π
    -0.519439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63186793686595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66647838} λ = 1.66647838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63186793686595))-π/2
    2×atan(0.195563931657108)-π/2
    2×0.193126493534652-π/2
    0.386252987069303-1.57079632675     		φ = -1.18454334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66647838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18454334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.869334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50150 KachelY 49789 1.66647838 -1.18454334 95.482178 -67.869334
    Oben rechts KachelX + 1 50151 KachelY 49789 1.66657425 -1.18454334 95.487671 -67.869334
    Unten links KachelX 50150 KachelY + 1 49790 1.66647838 -1.18457946 95.482178 -67.871404
    Unten rechts KachelX + 1 50151 KachelY + 1 49790 1.66657425 -1.18457946 95.487671 -67.871404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18454334--1.18457946) × R
    3.61199999998618e-05 × 6371000     		dl = 230.12051999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18454334--1.18457946) × R
    3.61199999998618e-05 × 6371000     		dr = 230.12051999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66647838-1.66657425) × cos(-1.18454334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376720107831952 × 6371000     		do = 230.096034576832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66647838-1.66657425) × cos(-1.18457946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376686648650111 × 6371000     		du = 230.07559811777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18454334)-sin(-1.18457946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376720107831952-0.376686648650111)×R²
    abs(1.66657425-1.66647838)×3.34591818402785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34591818402785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34591818402785e-05×40589641000000     		ar = 52947.4677078367m²