Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5015 / 9159
↖ ↑ ↗
← N 61.902752°
W124.903565°		 ← 575.35 m → N 61.902752°
W124.892578°		 →
↑
575.37 m
↓
↑
575.37 m
↓
N 61.897578°
W124.903565°		 ← 575.45 m →
331 067 m²		 N 61.897578°
W124.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153060913085938 y=0.279525756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153060913085938 × 215)
    floor (0.153060913085938 × 32768)
    floor (5015.5)     		tx = 5015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279525756835938 × 215)
    floor (0.279525756835938 × 32768)
    floor (9159.5)     		ty = 9159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5015 / 9159 ti = "15/5015/9159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5015/9159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5015 ÷ 215
    5015 ÷ 32768     		x = 0.153045654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9159 ÷ 215
    9159 ÷ 32768     		y = 0.279510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.69390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17997845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279510498046875 × 2 - 1) × π
    0.44097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.38537639901962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17997845} λ = -2.17997845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38537639901962))-π/2
    2×atan(3.9963298363922)-π/2
    2×1.32560158509594-π/2
    2.65120317019189-1.57079632675     		φ = 1.08040684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17997845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.903565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08040684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.902752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5015 KachelY 9159 -2.17997845 1.08040684 -124.903565 61.902752
    Oben rechts KachelX + 1 5016 KachelY 9159 -2.17978670 1.08040684 -124.892578 61.902752
    Unten links KachelX 5015 KachelY + 1 9160 -2.17997845 1.08031653 -124.903565 61.897578
    Unten rechts KachelX + 1 5016 KachelY + 1 9160 -2.17978670 1.08031653 -124.892578 61.897578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08040684-1.08031653) × R
    9.03100000000379e-05 × 6371000     		dl = 575.365010000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08040684-1.08031653) × R
    9.03100000000379e-05 × 6371000     		dr = 575.365010000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17997845--2.17978670) × cos(1.08040684) × R
    0.000191749999999935 × 0.470969509462637 × 6371000     		do = 575.354838312609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17997845--2.17978670) × cos(1.08031653) × R
    0.000191749999999935 × 0.471049174462302 × 6371000     		du = 575.452160203051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08040684)-sin(1.08031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470969509462637-0.471049174462302)×R²
    abs(-2.17978670--2.17997845)×7.96649996651078e-05×R²
    0.000191749999999935×7.96649996651078e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.96649996651078e-05×40589641000000     		ar = 331067.040329919m²