Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50149 / 49834
↖ ↑ ↗
← S 67.962271°
E 95.476684°		 ← 229.20 m → S 67.962271°
E 95.482178°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 67.964332°
E 95.476684°		 ← 229.18 m →
52 523 m²		 S 67.964332°
E 95.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765220642089844 y=0.760414123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765220642089844 × 216)
    floor (0.765220642089844 × 65536)
    floor (50149.5)     		tx = 50149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760414123535156 × 216)
    floor (0.760414123535156 × 65536)
    floor (49834.5)     		ty = 49834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50149 / 49834 ti = "16/50149/49834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50149/49834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50149 ÷ 216
    50149 ÷ 65536     		x = 0.765213012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49834 ÷ 216
    49834 ÷ 65536     		y = 0.760406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765213012695312 × 2 - 1) × π
    0.530426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66638250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.52081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63618225783176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66638250} λ = 1.66638250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63618225783176))-π/2
    2×atan(0.194722023523456)-π/2
    2×0.192315469857481-π/2
    0.384630939714962-1.57079632675     		φ = -1.18616539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66638250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.476684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18616539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.962271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50149 KachelY 49834 1.66638250 -1.18616539 95.476684 -67.962271
    Oben rechts KachelX + 1 50150 KachelY 49834 1.66647838 -1.18616539 95.482178 -67.962271
    Unten links KachelX 50149 KachelY + 1 49835 1.66638250 -1.18620136 95.476684 -67.964332
    Unten rechts KachelX + 1 50150 KachelY + 1 49835 1.66647838 -1.18620136 95.482178 -67.964332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18616539--1.18620136) × R
    3.59700000001073e-05 × 6371000     		dl = 229.164870000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18616539--1.18620136) × R
    3.59700000001073e-05 × 6371000     		dr = 229.164870000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66638250-1.66647838) × cos(-1.18616539) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375217063978206 × 6371000     		do = 229.201898852191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66638250-1.66647838) × cos(-1.18620136) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3751837218125 × 6371000     		du = 229.181531740924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18616539)-sin(-1.18620136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375217063978206-0.3751837218125)×R²
    abs(1.66647838-1.66638250)×3.33421657052191e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.33421657052191e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.33421657052191e-05×40589641000000     		ar = 52522.6896468102m²