Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50147 / 50982
↖ ↑ ↗
← S 70.211156°
E 95.465698°		 ← 206.79 m → S 70.211156°
E 95.471191°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 70.213015°
E 95.465698°		 ← 206.77 m →
42 749 m²		 S 70.213015°
E 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765190124511719 y=0.777931213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765190124511719 × 216)
    floor (0.765190124511719 × 65536)
    floor (50147.5)     		tx = 50147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777931213378906 × 216)
    floor (0.777931213378906 × 65536)
    floor (50982.5)     		ty = 50982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50147 / 50982 ti = "16/50147/50982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50147/50982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50147 ÷ 216
    50147 ÷ 65536     		x = 0.765182495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50982 ÷ 216
    50982 ÷ 65536     		y = 0.777923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765182495117188 × 2 - 1) × π
    0.530364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66619076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.55584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74624537935941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66619076} λ = 1.66619076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74624537935941))-π/2
    2×atan(0.17442762508067)-π/2
    2×0.172690245717831-π/2
    0.345380491435662-1.57079632675     		φ = -1.22541584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66619076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22541584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.211156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50147 KachelY 50982 1.66619076 -1.22541584 95.465698 -70.211156
    Oben rechts KachelX + 1 50148 KachelY 50982 1.66628663 -1.22541584 95.471191 -70.211156
    Unten links KachelX 50147 KachelY + 1 50983 1.66619076 -1.22544829 95.465698 -70.213015
    Unten rechts KachelX + 1 50148 KachelY + 1 50983 1.66628663 -1.22544829 95.471191 -70.213015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22541584--1.22544829) × R
    3.24500000001837e-05 × 6371000     		dl = 206.73895000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22541584--1.22544829) × R
    3.24500000001837e-05 × 6371000     		dr = 206.73895000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66619076-1.66628663) × cos(-1.22541584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33855471954147 × 6371000     		do = 206.785082171705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66619076-1.66628663) × cos(-1.22544829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338524185642644 × 6371000     		du = 206.766432439732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22541584)-sin(-1.22544829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33855471954147-0.338524185642644)×R²
    abs(1.66628663-1.66619076)×3.05338988254023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05338988254023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05338988254023e-05×40589641000000     		ar = 42748.6029546873m²