Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50147 / 50969
↖ ↑ ↗
← S 70.186965°
E 95.465698°		 ← 207.03 m → S 70.186965°
E 95.471191°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 70.188826°
E 95.465698°		 ← 207.01 m →
42 852 m²		 S 70.188826°
E 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765190124511719 y=0.777732849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765190124511719 × 216)
    floor (0.765190124511719 × 65536)
    floor (50147.5)     		tx = 50147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777732849121094 × 216)
    floor (0.777732849121094 × 65536)
    floor (50969.5)     		ty = 50969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50147 / 50969 ti = "16/50147/50969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50147/50969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50147 ÷ 216
    50147 ÷ 65536     		x = 0.765182495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50969 ÷ 216
    50969 ÷ 65536     		y = 0.777725219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765182495117188 × 2 - 1) × π
    0.530364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66619076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777725219726562 × 2 - 1) × π
    -0.555450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74499901996928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66619076} λ = 1.66619076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74499901996928))-π/2
    2×atan(0.174645160124348)-π/2
    2×0.172901349904012-π/2
    0.345802699808024-1.57079632675     		φ = -1.22499363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66619076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22499363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.186965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50147 KachelY 50969 1.66619076 -1.22499363 95.465698 -70.186965
    Oben rechts KachelX + 1 50148 KachelY 50969 1.66628663 -1.22499363 95.471191 -70.186965
    Unten links KachelX 50147 KachelY + 1 50970 1.66619076 -1.22502612 95.465698 -70.188826
    Unten rechts KachelX + 1 50148 KachelY + 1 50970 1.66628663 -1.22502612 95.471191 -70.188826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22499363--1.22502612) × R
    3.24900000001627e-05 × 6371000     		dl = 206.993790001036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22499363--1.22502612) × R
    3.24900000001627e-05 × 6371000     		dr = 206.993790001036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66619076-1.66628663) × cos(-1.22499363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338951966462436 × 6371000     		do = 207.027715732702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66619076-1.66628663) × cos(-1.22502612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338921399571977 × 6371000     		du = 207.009045849842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22499363)-sin(-1.22502612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338951966462436-0.338921399571977)×R²
    abs(1.66628663-1.66619076)×3.05668904590495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05668904590495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05668904590495e-05×40589641000000     		ar = 42851.5192437033m²