Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50146 / 48422
↖ ↑ ↗
← S 64.862941°
E 95.460205°		 ← 259.48 m → S 64.862941°
E 95.465698°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
S 64.865274°
E 95.460205°		 ← 259.46 m →
67 313 m²		 S 64.865274°
E 95.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765174865722656 y=0.738868713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765174865722656 × 216)
    floor (0.765174865722656 × 65536)
    floor (50146.5)     		tx = 50146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738868713378906 × 216)
    floor (0.738868713378906 × 65536)
    floor (48422.5)     		ty = 48422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50146 / 48422 ti = "16/50146/48422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50146/48422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50146 ÷ 216
    50146 ÷ 65536     		x = 0.765167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48422 ÷ 216
    48422 ÷ 65536     		y = 0.738861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765167236328125 × 2 - 1) × π
    0.53033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66609488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.47772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50080845330472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66609488} λ = 1.66609488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50080845330472))-π/2
    2×atan(0.222949842732002)-π/2
    2×0.219362218485015-π/2
    0.438724436970031-1.57079632675     		φ = -1.13207189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66609488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13207189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.862941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50146 KachelY 48422 1.66609488 -1.13207189 95.460205 -64.862941
    Oben rechts KachelX + 1 50147 KachelY 48422 1.66619076 -1.13207189 95.465698 -64.862941
    Unten links KachelX 50146 KachelY + 1 48423 1.66609488 -1.13211261 95.460205 -64.865274
    Unten rechts KachelX + 1 50147 KachelY + 1 48423 1.66619076 -1.13211261 95.465698 -64.865274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13207189--1.13211261) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dl = 259.42712000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13207189--1.13211261) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dr = 259.42712000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66609488-1.66619076) × cos(-1.13207189) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		do = 259.480577044603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66609488-1.66619076) × cos(-1.13211261) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.424748186999189 × 6371000     		du = 259.458058656202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13207189)-sin(-1.13211261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424785050932793-0.424748186999189)×R²
    abs(1.66619076-1.66609488)×3.68639336040255e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.68639336040255e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.68639336040255e-05×40589641000000     		ar = 67313.377867497m²