Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50145 / 48427
↖ ↑ ↗
← S 64.874606°
E 95.454712°		 ← 259.34 m → S 64.874606°
E 95.460205°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
S 64.876938°
E 95.454712°		 ← 259.32 m →
67 261 m²		 S 64.876938°
E 95.460205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765159606933594 y=0.738945007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765159606933594 × 216)
    floor (0.765159606933594 × 65536)
    floor (50145.5)     		tx = 50145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738945007324219 × 216)
    floor (0.738945007324219 × 65536)
    floor (48427.5)     		ty = 48427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50145 / 48427 ti = "16/50145/48427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50145/48427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50145 ÷ 216
    50145 ÷ 65536     		x = 0.765151977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48427 ÷ 216
    48427 ÷ 65536     		y = 0.738937377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765151977539062 × 2 - 1) × π
    0.530303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66599901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738937377929688 × 2 - 1) × π
    -0.477874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50128782230092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66599901} λ = 1.66599901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50128782230092))-π/2
    2×atan(0.222842993101935)-π/2
    2×0.219260426182947-π/2
    0.438520852365894-1.57079632675     		φ = -1.13227547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66599901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13227547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.874606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50145 KachelY 48427 1.66599901 -1.13227547 95.454712 -64.874606
    Oben rechts KachelX + 1 50146 KachelY 48427 1.66609488 -1.13227547 95.460205 -64.874606
    Unten links KachelX 50145 KachelY + 1 48428 1.66599901 -1.13231618 95.454712 -64.876938
    Unten rechts KachelX + 1 50146 KachelY + 1 48428 1.66609488 -1.13231618 95.460205 -64.876938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13227547--1.13231618) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13227547--1.13231618) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66599901-1.66609488) × cos(-1.13227547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424600742330171 × 6371000     		do = 259.340940548184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66599901-1.66609488) × cos(-1.13231618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42456388393009 × 6371000     		du = 259.318427888193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13227547)-sin(-1.13231618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424600742330171-0.42456388393009)×R²
    abs(1.66609488-1.66599901)×3.68584000808858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68584000808858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68584000808858e-05×40589641000000     		ar = 67260.631222513m²