Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50144 / 50848
↖ ↑ ↗
← S 69.960439°
E 95.449219°		 ← 209.30 m → S 69.960439°
E 95.454712°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 69.962321°
E 95.449219°		 ← 209.28 m →
43 801 m²		 S 69.962321°
E 95.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765144348144531 y=0.775886535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765144348144531 × 216)
    floor (0.765144348144531 × 65536)
    floor (50144.5)     		tx = 50144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775886535644531 × 216)
    floor (0.775886535644531 × 65536)
    floor (50848.5)     		ty = 50848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50144 / 50848 ti = "16/50144/50848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50144/50848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50144 ÷ 216
    50144 ÷ 65536     		x = 0.76513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50848 ÷ 216
    50848 ÷ 65536     		y = 0.77587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66590314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    -0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66590314} λ = 1.66590314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73339829026123))-π/2
    2×atan(0.176682968600988)-π/2
    2×0.174878157712927-π/2
    0.349756315425855-1.57079632675     		φ = -1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66590314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50144 KachelY 50848 1.66590314 -1.22104001 95.449219 -69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 50145 KachelY 50848 1.66599901 -1.22104001 95.454712 -69.960439
    Unten links KachelX 50144 KachelY + 1 50849 1.66590314 -1.22107286 95.449219 -69.962321
    Unten rechts KachelX + 1 50145 KachelY + 1 50849 1.66599901 -1.22107286 95.454712 -69.962321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22104001--1.22107286) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22104001--1.22107286) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66590314-1.66599901) × cos(-1.22104001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 209.29796590309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66590314-1.66599901) × cos(-1.22107286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342638026600889 × 6371000     		du = 209.279116184753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22104001)-sin(-1.22107286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342638026600889)×R²
    abs(1.66599901-1.66590314)×3.08613224807019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08613224807019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08613224807019e-05×40589641000000     		ar = 43801.4441441204m²