Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50143 / 50846
↖ ↑ ↗
← S 69.956674°
E 95.443725°		 ← 209.36 m → S 69.956674°
E 95.449219°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
S 69.958557°
E 95.443725°		 ← 209.34 m →
43 827 m²		 S 69.958557°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765129089355469 y=0.775856018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765129089355469 × 216)
    floor (0.765129089355469 × 65536)
    floor (50143.5)     		tx = 50143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775856018066406 × 216)
    floor (0.775856018066406 × 65536)
    floor (50846.5)     		ty = 50846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50143 / 50846 ti = "16/50143/50846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50143/50846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50143 ÷ 216
    50143 ÷ 65536     		x = 0.765121459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50846 ÷ 216
    50846 ÷ 65536     		y = 0.775848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765121459960938 × 2 - 1) × π
    0.530242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66580726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.55169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73320654266275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66580726} λ = 1.66580726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73320654266275))-π/2
    2×atan(0.176716850384181)-π/2
    2×0.174911013640167-π/2
    0.349822027280333-1.57079632675     		φ = -1.22097430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66580726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.443725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22097430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.956674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50143 KachelY 50846 1.66580726 -1.22097430 95.443725 -69.956674
    Oben rechts KachelX + 1 50144 KachelY 50846 1.66590314 -1.22097430 95.449219 -69.956674
    Unten links KachelX 50143 KachelY + 1 50847 1.66580726 -1.22100716 95.443725 -69.958557
    Unten rechts KachelX + 1 50144 KachelY + 1 50847 1.66590314 -1.22100716 95.449219 -69.958557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22097430--1.22100716) × R
    3.28600000001344e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22097430--1.22100716) × R
    3.28600000001344e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66580726-1.66590314) × cos(-1.22097430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.34273061885329 × 6371000     		do = 209.357505767711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66580726-1.66590314) × cos(-1.22100716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342699748876069 × 6371000     		du = 209.338648796438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22097430)-sin(-1.22100716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34273061885329-0.342699748876069)×R²
    abs(1.66590314-1.66580726)×3.08699772214593e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08699772214593e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08699772214593e-05×40589641000000     		ar = 43827.241891811m²