Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50142 / 50966
↖ ↑ ↗
← S 70.181378°
E 95.438233°		 ← 207.08 m → S 70.181378°
E 95.443725°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
S 70.183241°
E 95.438233°		 ← 207.07 m →
42 890 m²		 S 70.183241°
E 95.443725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765113830566406 y=0.777687072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765113830566406 × 216)
    floor (0.765113830566406 × 65536)
    floor (50142.5)     		tx = 50142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777687072753906 × 216)
    floor (0.777687072753906 × 65536)
    floor (50966.5)     		ty = 50966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50142 / 50966 ti = "16/50142/50966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50142/50966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50142 ÷ 216
    50142 ÷ 65536     		x = 0.765106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50966 ÷ 216
    50966 ÷ 65536     		y = 0.777679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765106201171875 × 2 - 1) × π
    0.53021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66571139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.55535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74471139857156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66571139} λ = 1.66571139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74471139857156))-π/2
    2×atan(0.174695399033955)-π/2
    2×0.172950101419187-π/2
    0.345900202838373-1.57079632675     		φ = -1.22489612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66571139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.438233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22489612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.181378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50142 KachelY 50966 1.66571139 -1.22489612 95.438233 -70.181378
    Oben rechts KachelX + 1 50143 KachelY 50966 1.66580726 -1.22489612 95.443725 -70.181378
    Unten links KachelX 50142 KachelY + 1 50967 1.66571139 -1.22492863 95.438233 -70.183241
    Unten rechts KachelX + 1 50143 KachelY + 1 50967 1.66580726 -1.22492863 95.443725 -70.183241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22489612--1.22492863) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dl = 207.121210000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22489612--1.22492863) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dr = 207.121210000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66571139-1.66580726) × cos(-1.22489612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339043702617723 × 6371000     		do = 207.083747054418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66571139-1.66580726) × cos(-1.22492863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339013117985562 × 6371000     		du = 207.065066335144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22489612)-sin(-1.22492863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339043702617723-0.339013117985562)×R²
    abs(1.66580726-1.66571139)×3.05846321612124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05846321612124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05846321612124e-05×40589641000000     		ar = 42889.5016784967m²