Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50140 / 50756
↖ ↑ ↗
← S 69.786545°
E 95.427246°		 ← 211.04 m → S 69.786545°
E 95.432739°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 69.788443°
E 95.427246°		 ← 211.02 m →
44 529 m²		 S 69.788443°
E 95.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765083312988281 y=0.774482727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765083312988281 × 216)
    floor (0.765083312988281 × 65536)
    floor (50140.5)     		tx = 50140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774482727050781 × 216)
    floor (0.774482727050781 × 65536)
    floor (50756.5)     		ty = 50756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50140 / 50756 ti = "16/50140/50756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50140/50756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50140 ÷ 216
    50140 ÷ 65536     		x = 0.76507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50756 ÷ 216
    50756 ÷ 65536     		y = 0.77447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    0.5301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66551964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.5489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72457790073114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66551964} λ = 1.66551964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72457790073114))-π/2
    2×atan(0.178248274362365)-π/2
    2×0.176395670580999-π/2
    0.352791341161998-1.57079632675     		φ = -1.21800499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66551964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21800499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.786545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50140 KachelY 50756 1.66551964 -1.21800499 95.427246 -69.786545
    Oben rechts KachelX + 1 50141 KachelY 50756 1.66561551 -1.21800499 95.432739 -69.786545
    Unten links KachelX 50140 KachelY + 1 50757 1.66551964 -1.21803811 95.427246 -69.788443
    Unten rechts KachelX + 1 50141 KachelY + 1 50757 1.66561551 -1.21803811 95.432739 -69.788443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21800499--1.21803811) × R
    3.31199999998866e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21800499--1.21803811) × R
    3.31199999998866e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66551964-1.66561551) × cos(-1.21800499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345518573814154 × 6371000     		do = 211.038519193523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66551964-1.66561551) × cos(-1.21803811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345487493422154 × 6371000     		du = 211.019535670203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21800499)-sin(-1.21803811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345518573814154-0.345487493422154)×R²
    abs(1.66561551-1.66551964)×3.10803919999492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10803919999492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10803919999492e-05×40589641000000     		ar = 44528.7117306154m²